В некоторых случаях, когда уравнение $$M(x,y)dx +N(x,y)dy =0 \qquad (1)$$ не является уравнением в полных дифференциалах, удаётся подобрать функцию $\mu (x,y)$ , после умножения на которую, левая часть (1) превращается в полный дифференциал $du=\mu Mdx+\mu Ndx $
Такая функция $\mu(x,y)$ называется интегрирующим множителем из определения интегрирующего множителя
$$ \frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N)$$
( см.уравнение в полных дифференциалах (2) ) или
$ N\frac{\partial\mu}{\partial y}-M\frac{\partial\mu}{\partial y}= \left ( \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} \right ) \mu $
$$ N\frac{\partial\ln{\mu}}{\partial x} - M\frac{\partial\ln{\mu}}{\partial y} = \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} \qquad (2) $$
Некоторые частные случаи, когда удаётся легко найти интегрирующий множитель.
Если $\mu=\mu(x)$, то $\frac{\partial\mu}{\partial y}=0$ и уравнение (2) примет вид
$$
\frac{\partial\ln{\mu}}{\partial x}
=\frac{
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}
}{N}
\qquad (3)
$$
Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от y , необходимо и достаточно, чтобы правая часть (3) была функцией только от x.
Пример 1. Решить уравнения $ (x+y^{2})dx-xydy=0 $
Решение.
$M=x+y^{2} \,,\, N=-2xy$
имеем
$\frac{ \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} }{N} = \frac{2y+2y}{-2xy} = -\frac{2}{x}$
, следовательно
$\frac{\partial\ln{\mu}}{\partial x} = -\frac{2}{x}$
,
$\ln{\mu} = -2\ln{|x|}$
,
$\mu = \frac{1}{x^{2}}$
Уравнение $\frac{x+y^{2}}{x^{2}} dx- \frac{2xy}{x^{2}}dy =0$ в полных дифференциалах.
Его можно представить в виде $\frac{dx}{x} - \frac{2xydy - y^{2}dx}{x^{2}} =0$ , откуда $d\left ( \ln{|x|} -\frac{y^{2}}{x} \right ) =0$ и общий интеграл данного уравнения $x=Ce^{y^{2}}{x}$
Аналогично, если
$\left ( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right )\frac{1}{M}$
есть функция только y, то уравнение (1) имеет интегрирующий множитель $\mu=\mu(y)$ , зависящий только от y.
Интеграл уравнения (1) $$ y=\int p(x,C_{1})dx+C_{2} $$
Пример 2. Решить уравнение $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{1}{a} \sqrt{ 1+ \left ( \frac{dy}{dx} \right )^{2} } $$
Решение. Положим $\frac{dy}{dx}=p$ , тогда
$$
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{dp}{dx}
\\
\frac{dp}{dx}=\frac{1}{a}\sqrt{ 1+p^{2} }
\\
\frac{dp}{ \sqrt{1+p^{2}} } = \frac{1}{a}dx
\\
\ln{ p+\sqrt{ 1+p^{2} } }=\frac{x}{a}+c
\\
p=sh\left (
\frac{x}{a}+C_{1}
\right )
$$
т.к. $p=\frac{dy}{dx}$ , интеграл последнее соотношение, получим уравнение цепной линии $$ y=ach{ \left ( \frac{x}{a} +C_{1} \right ) } +C_{2} $$
Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (решим задачу Коши) $$ y|_{x=0}=a \;;\; {y}'|_{x=0}=0 \\ C_{1}=0 \;;\; C_{2}=0 \;;\; y=ach{ \frac{x}{a} } $$
Пример 3
$$ P(x,y)\;dx+Q(x,y)\;dy=0 \\ y\cdot dx-(x+x^{2}y)dy=0 $$