Общее решение дифференциального уравнения

Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида $$F(x,\;y,\;y',\;y'',\;\ldots,\;y^{(n)})=0,$$ обращает его в тождество.

Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде: $$ y=\varphi(x,\;C_{1}^{0},\;C_{2}^{0},\;\ldots,\;C_{n}^{0}), $$ где $C_{1}^{0},\;\;C_{2}^{0},\;\;\ldots,\;\;C_{n}^{0}$ — конкретные числа, то функция вида $$ y=\varphi(x,\;C_{1},\;C_{2},\;\ldots,\;C_{n}) $$

при всех допустимых значениях параметров (произвольных констант) $C_{1},\;\;C_{2},\;\;\ldots,\;\;C_{n}$ называется общим решением дифференциального уравнения.

---

Обращаем ваше внимание, что количество произвольных постоянных $C_{1},\;\;C_{2},\;\;\ldots,\;\;C_{n}$ равно порядку дифференциального уравнения, т.е. порядку старшей производной, входящей в данное уравнение.

Например, для дифференциального уравнения первого порядка – одна произвольная постоянная ($C_{1}$). Для дифференциального уравнения второго порядка – две произвольных постоянных: ($C_{1} \,,\, C_{2}$) . Эти произвольные постоянные определяются из начальных условий, при решении задачи Коши.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения: $$ \frac{dy}{dx}=x^{3} $$

Решение:

---