Длина дуги окружности. Радианная мера угла

Найдем длину дуги окружности радиуса R, отвечающей центральному углу в n° (рис.1).

Развернутому углу соответствует длина полуокружности $\pi R$. Следовательно, углу в 1° соответствует дуга длины $\frac{\pi R}{180}$ , а углу в n° соответствует дуга длины $$ l = \frac{\pi R}{180}n \,\,\, (8) $$ Например, длина дуги окружности радиуса 12 м, отвечающей центральному углу в 30°, есть $$ l = \frac{12\pi}{180} \bullet = 2\pi \approx 6 \text{(м)} $$

---

---

Пример 1. По данной хорде к найти длину ее дуги, если она соответствует центральному углу в 60° (рис.2).

Решение. Так как АО = ВО = R(R — радиус окружности) и ∠ АОВ = 60°, то треугольник АОВ равносторонний: R = АВ = к. Теперь согласно формуле (8) имеем: $$ l = \frac{\pi R}{180} \bullet 60 = \frac{\pi k}{3} $$ Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. Из формулы для длины дуги окружности следует, что $$ \frac{l}{R} = \frac{\pi}{180}n $$ , т.е. радианная мера угла получается из градусной умножением на $\frac{\pi}{180}$. В частности, радианная мера угла 180° равна $\pi$, радианная мера прямого угла равна $\frac{\pi}{2}$.

Единицей радианной меры углов является радиан. Угол в один радиан — это центральный угол, у которого длина дуги равна радиусу (рис.3).

Градусная мера угла в один радиан равна $\frac{180^{\circ}}{\pi} = 57°$ .

---

Пример 2. Найти радианные меры углов параллелограмма ABCD, если ∠ A = 36°.

Решение. Радианная мера угла А равна $36° \bullet \frac{\pi}{180°} = \frac{\pi}{5}$ ,а радианная мера угла В равна к $\pi - \frac{\pi}{5} = \frac{4\pi}{5}$ , так как в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (теорема 1). Наконец, радианные меры углов C и D соответственно равны $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{4\pi}{5}$ (в параллелограмме противоположные углы равны).

---

---