Касательная к окружности
Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания. На рисунке 1 прямая а проведена через точку А окружности перпендикулярно к радиусу ОА.
Рис.1
Прямая а является касательной к окружности. Точка А является точкой касания. Можно сказать также, что окружность касается прямой а в точке А.
Теорема 1. Касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания.
Доказательство. Пусть а — касательная к окружности в точке А (рис.2).
Рис.2
Допустим, что касательная а и окружность имеют, кроме точки А, общую точку В, отличную от А. Треугольник АОВ равнобедренный (ОА и ОВ — радиусы окружности) и, значит, $\angle А = \angle В$ . Но угол А — прямой, следовательно, и угол В — прямой, что невозможно. Теорема доказана.
Говорят, что две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную (рис. 3).
Рис.3
Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной (рис. 3, а). Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной (рис. 3, б).
 |
Пример 1. Построить окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой в данной точке.
Решение. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому центр искомой окружности лежит на перпендикуляре к данной прямой, проходящем через данную точку, и находится от данной точки на расстоянии, равном радиусу. Задача имеет два решения — две окружности, симметричные друг другу относительно данной прямой (рис. 4).
Рис.4
Пример 2. Две окружности диаметром 4 и 8 см касаются внешним образом. Чему равно расстояние между центрами этих окружностей?
Решение. Радиусы окружностей перпендикулярны их общей касательной (см. рис. 3, б). Поэтому искомое расстояние равно сумме их радиусов, т. е. 2 + 4 = 6 (см).
|