Координаты середины отрезка
Пусть $A(x_1; y_1) \,и\, В(x_2; y_2)$ — две произвольные точки и C(x; y) — середина отрезка АВ. Найдем координаты х, у точки С. Рассмотрим сначала случай, когда отрезок АВ не параллелен оси Оу, т. е. $x_1 \neq x_2$. Проведем через точки А, В, С прямые, параллельные оси Оу (рис.1).
Римс.1
Они пересекут ось Ох в точках $A_1(x_1; 0), B_1(x_2; 0), C_1(x; 0)$. По теореме Фалеса точка $C_1$ будет серединой отрезка $A_1B_1$.
Так как точка $C_1$ — середина отрезка $A_1B_1$, то $А_1С_1 = С_1В_1$. При выбранном расположении точек имеем:
$$ A_1C_1 = x - x_1
\\ C_1B_1 = x_2 - x
$$
и, значит, $ x - x_1 = x_2 - x $ , откуда
$$ x = \frac{x_1 + x_2}{2} \,\,\,(1) $$
Аналогично получим:
$$ y = \frac{y_1 + y_2}{2} \,\,\,(2) $$
Примечание. Формулы (1) и (2) верны при любом расположении точек А и В.
 |
Пример 1. Даны две вершины параллелограмма ABCD: А(1; 0), С (3; 2). Найти координаты точки пересечения диагоналей.
Решение. Точка пересечения диагоналей является серединой каждой из них. Поэтому она является серединой отрезка АС и имеет координаты $$ x = \frac{1 + 3}{2} = 2 \\ y = \frac{0 + 2}{2} = 1 $$
|