Основные тригонометрические тождества

$$ \cos \alpha = \frac{AC}{AB} \ \ \ (1); \ \sin \alpha = \frac{BC}{AB} \ \ \ (2); \ {\rm tg}\, \alpha = \frac{BC}{AC} \ \ \ (3); $$ Используя равенства (1), (2) и (3), имеем: $$ \sin \alpha * \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{BC}{AB} * \frac{AB}{AC} = \frac{BC}{AC} = {\rm tg}\, \alpha $$ Итак, $$ {\rm tg}\, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$ Соответственно, $$ {\rm ctg}\, \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $$ Получаем: $${\rm tg}\, \alpha = \frac{1}{ {\rm ctg}\, \alpha } \ \ \ ; \ \ \ {\rm ctg}\, \alpha = \frac{1}{ {\rm tg}\, \alpha } $$ Эти равенства есть тождества. Они верны для любого острого угла $ \alpha $.

Далее, используя определения синуса, косинуса и теорему Пифагора (см. рис. 1), находим: $$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{BC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{BC^2 + AC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2} = 1 \ \ \ (4)$$

Итак, имеем тождество: $$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $$ Используя тождество (4), получаем: $$ 1 + {\rm tg^2}\, \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $$ Таким образом: $$ 1 + {\rm tg^2}\, \alpha = 1 + \frac{1}{{\rm ctg^2}\, \alpha} = \frac{1}{cos^2 \alpha} $$ Аналогично выводится тождество: $$ 1 + \frac{1}{{\rm tg^2}\, \alpha} = 1 + {\rm ctg^2}\, \alpha = \frac{1}{sin^2 \alpha} $$ Полученные тождества позволяют, зная одну из величин $ \sin \alpha \,, \cos \alpha \,, {\rm tg}\, \alpha \,\text{и}\, {\rm ctg}\, \alpha $ найти другие.

---

---

Пример 1. Вычислить значение $\cos \alpha \,и\, {\rm tg}\, \alpha \,\text{, если} \sin \alpha = \frac{1}{2}$

Решение. $$ \text{Так как } \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \text{ , то} \\ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin ^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left ( \frac{1}{2} \right ) ^2} = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ {\rm tg}\, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1 \bullet 2}{2 \bullet \sqrt{3} } = \frac {1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

---

Пример 2. Вычислить значения $\sin \alpha \,и\, {\rm tg}\, \alpha \,\text{, если} \cos \alpha = \frac{3}{5} $

Решение. Имеем $$ \sin \alpha = \sqrt{ 1 - \cos ^2 \alpha } = \sqrt{ 1 - \left ( \frac{3}{5} \right ) ^2 } = \frac{4}{5} \\ {\rm tg}\, \alpha = \frac{4 \bullet 5}{5 \bullet 3} = \frac{4}{3} $$

---

---