Площадь прямоугольника

Условимся одну из сторон параллелограмма называть его основанием, а перпендикуляр, опущенный на эту сторону из какой-нибудь точки противоположной стороны параллелограмма, — высотой.

В прямоугольнике за высоту можно взять сторону, перпендикулярную к той, которая принята за основание. В трапеции высота — общий перпендикуляр между основаниями. Основание и высота прямоугольника называются его измерениями.

Теорема 1. Площадь прямоугольника равна произведению его измерений.

Доказательство.

1. Пусть измерения прямоугольника — натуральные числа m и n. Разобьем прямоугольник на единичные квадраты (как показано на рис.1, где измерения прямоугольника 5 и 3 единиц).

Очевидно, на прямоугольнике уложится mn единичных квадратов. По второму свойству площадей площадь прямоугольника будет равна mnквадратных единиц.

2. Пусть измерения прямоугольника — рациональные числа a и b. Приведем дроби a и b к общему знаменателю. Пусть $a = \frac{m}{q}$ и $b = \frac{m}{q}$ , где m, n и q — натуральные числа. Разобьем теперь прямоугольник на такие единичные квадраты, что длина стороны каждого из них равна $\frac{1}{q}$ части единицы длины. Прямоугольник будет содержать mn таких квадратов. Так как площадь квадрата со стороной $\frac{1}{q}$ равна $\frac{1}{q^2}$ части прежнего единичного квадрата, то площадь S прямоугольника равна $$ S = mn \bullet \frac{1}{q^2} = \frac{m}{q} \bullet \frac{n}{q} = ab $$

Теорема доказана для случая, когда измерения прямоугольника — рациональные числа. Можно доказать, что эта теорема верна и в том случае, когда хотя бы одно измерение есть иррациональное число.

---

---

Пример 1. Сравнить площадь прямоугольника со сторонами 48 см и 27 см с площадью квадрата со стороной 36 см.

Решение. Искомые площади прямоугольника и квадрата равны: 48 • 27 = 1296 (см²) и 36² = 1296 (см²) соответственно, т. е. площади этих фигур одинаковы.

---

Пример 2. Найти площадь квадрата по его диагонали, равной 4 м.

Решение. Обозначим сторону квадрата через х. По теореме Пифагора $$ x^2 + x^2 = 4^2\text{ , или }2x^2 = 16 $$ откуда х² = 8 , т.е. площадь квадрата равна 8 м².

---

Пример 3. Как изменится площадь прямоугольника, если его основание увеличить на 50%, а высоту уменьшить на 50% ?

Решение. Если основание прямоугольника принять за x, а высоту за y, то его площадь будет равна S = ху.

Основание увеличили на 50%, т.е. оно стало 1,5x. Высоту уменьшили на 50% , т.е. она стала 0,5y. Поэтому $$ S_1 = 1,5x \bullet 0,5y = 0,75 xy $$ Следовательно, площадь прямоугольника уменьшится на 25%.

Найдите диагональ прямоугольника ABCD, если стороны квадратных клеток на рисунке равны 1.

---