Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Задача 1. Доказать, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS*BS = CS*DS.

Доказательство. Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны (рис.1).

Вписанные углы DCB и DAB равны по следствию 1. Углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASD и С SB подобны.

Из подобия треугольников следует пропорция $$ \frac{DS}{BS} = \frac{AS}{CS} $$

Отсюда AS•BS = CS•DS ,что и требовалось доказать.

Аналогично устанавливается:

1) если из точки Р (рис.2), лежащей вне окружности, проведены к ней две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AP•BP = CP•DP

2) если из точки Р (рис.3), лежащей вне окружности, проведены к ней секущая, пересекающая окружность в точках А и Б, и касательная PC, то РА•РВ = РС².

---

---

Пример 1. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найти ED, если АЕ = 5 см, BE = 2 см, СЕ = 2,5 см.

Решение. Имеем: АЕ • BE = ED • СЕ (задача), или $ 5• 2 = 2,5 • ED\text{ , откуда }ED = \frac{10}{2,5} = \frac{100}{25} = 4$ (см).

---

Пример 2. Из точки А, лежащей вне окружности, проведены две секущие. Внутренний отрезок первой равен 47 м, а внешний 9 м; внутренний отрезок второй секущей на 72 м больше внешнего ее отрезка. Найти внешний отрезок второй секущей.

Решение. Обозначим через х длину внешнего отрезка второй секущей. Тогда согласно условию задачи длина внутреннего отрезка второй секущей будет х + 72. Теперь согласно утверждению 1) имеем: $$ х(х + х 4- 72) = 9(9 + 47) $$ или $$ x(2x + 72) = 9•56 $$ Решая это уравнение, находим х = 6.

---

Пример 3. Из точки Р проведены к окружности касательная PC = 12 м и секущая РВ = 16 м. Найти внешнюю часть секущей АР.

Решение. Обозначим через х длину внешнего отрезка секущей. Тогда согласно утверждению 2) имеем: $$ x•16 = 12^2 $$ откуда х = 9.

---

---