Расстояние между точками
Пусть на плоскости хОу даны две точки: А1 с координатами х1, у1 и А2 с координатами х2, у2. Выразим расстояние между точками А1 и А2 через координаты этих точек.
Рассмотрим сначала случай, когда х1 ≠ х2 и у1 ≠ у2. Проведем через точки А1 и А2 прямые, параллельные осям координат, и обозначим точку их пересечения буквой А (рис. 1).
Рис.1
Расстояние между точками А и А1 равно |y1 - у2|, а расстояние между точками А и А2 равно |х1 - х2|. Применяя к прямоугольному треугольнику АА1А2 теорему Пифагора, получим: $$ А_1А_2^2 = АА_1^2 + АА_2^2 \,\text{, откуда }\, \\ d = sqrt{ (x_1 - x_2}^2 + (y_1 - y_2)^2 \,\,\,(1) $$ , где d — расстояние между точками А1 и А2.
Хотя формула (1) для расстояния между точками выведена нами в предположении х1 ≠ х2, y1 ≠ y2, она остается верной и в других случаях. Действительно, если 1 = х2, у1<sub> ≠ у<sub>2, то d равно |у1 - y2|. Тот же результат дает и формула (1). Аналогично рассматривается случай, когда x1 ≠ x2, y1 = y2. При x1 = x2, y1 = y2 точки А1 и А2 совпадают и формула (1) дает d = 0 .
 |
Пример 1. Найти расстояние между точками А(-1; -2) и В(-4; 2).
Решение. По формуле (1) имеем: $$ d = AB = \sqrt{(-4 + 1)^2 +(2 + 2)^2 } = \sqrt{ 9 + 16 } = \sqrt{25} = 5 \,\,. $$
|