Умножение вектора на число

Теорема 1. Два вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$ .

Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами.

Свойства. Для любых чисел k, l и любых векторов $\overrightarrow{a}\,, \overrightarrow{b}$ справедливы следующие равенства:

1. $(kl)\overrightarrow{a} = k(l\overrightarrow{a})$ {сочетательный закон).
2. $(k + l)\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{a}$ {первыйраспределительный закон).
3. $k(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = k\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}$ {второй распределительный закон).

Рисунок 1 иллюстрирует сочетательный закон. На этом рисунке представлен случай, когда k = 2, l = 3.

Рис.1

Рисунок 2 иллюстрирует первый распределительный закон. На этом рисунке представлен случай, когда k = 3, l = 2.

Рис.2

Примечание. Рассмотренные свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например, выражение $$ \overrightarrow{р} = 2(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{c} + \overrightarrow{a}) - 3(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a}) $$ можно преобразовать так: $$ \overrightarrow{р} = 2\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c} - 3\overrightarrow{a} = - 5\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c} $$

Пример 1. Коллинеарны ли векторы $2\overrightarrow{a} \,и\, -\overrightarrow{a}$ ?

Решение. Имеем $2\overrightarrow{a} = -2(-\overrightarrow{a})$ . Значит, данные векторы коллинеарны.

Пример 2. Дан треугольник ABC. Выразите через векторы $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{АВ} \,и\, \overrightarrow{b} = \overrightarrow{АС}$ следующие векторы: $а)\, \overrightarrow{ВА}\text{ ; б) }\overrightarrow{СВ}\text{ ; в) }\overrightarrow{СВ} + \overrightarrow{ВА}$ .

Решение

а) Векторы $\overrightarrow{ВА} \,и\, \overrightarrow{АВ}$ — противоположные, поэтому $\overrightarrow{ВА} = -\overrightarrow{АВ}\text{ , или }\overrightarrow{ВА} = -\overrightarrow{a}$ .

б) По правилу треугольника $\overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{СА} + \overrightarrow{АВ}$ . Но $\overrightarrow{СА} = -\overrightarrow{АС}$ , поэтому $\overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{АВ} + (-\overrightarrow{АС}) = \overrightarrow{АВ} -\overrightarrow{АС} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ .

в) $\overrightarrow{СВ} + \overrightarrow{ВА} = \overrightarrow{СА} = -\overrightarrow{АС} = -\overrightarrow{b}$.