Центральные и вписанные углы
Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. На рисунке 1 заштрихован один из плоских углов со сторонами a и b.
Угол разбивает плоскость на две части
Рис.1
Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.
Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами. Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная мера принимается равной 360° - $\alpha$, где $\alpha$ — градусная мера дополнительного плоского угла (рис.2).
Рис.2
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис.3).
Центральный угол
Рис.3
Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. Угол ВАС на рисунке 4 вписан в окружность.
Рис.4
Его вершина А лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках В и С. Говорят также, что угол А опирается на хорду ВС. Прямая ВС разбивает окружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той из этих дуг, которая не содержит точку А, называется центральным углом, соответствующим данному вписанному углу.
Теорема 1. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.
Доказательство. Рассмотрим частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности (рис.5).
Рис.5
Треугольник АОВ равнобедренный, так как у него стороны OA и OB равны как радиусы. Поэтому углы А и В треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине О, то угол В треугольника равен половине угла АОС, что и требовалось доказать.
Следствие 1. Вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны См. пример 2.
 |
Пример 1. Точки А, В, С лежат на окружности с центром О; угол ABC равен 66°. Найти центральный угол, соответствующий углу ABC.
Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 5.
Рис.5
Угол ABC вписан в окружность. Поэтому согласно теореме о вписанном угле $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle АОС$ или $\angle АОС = 2\angle ABC$. Но $\angle ABC = 66°$ и, значит, $\angle АОС = 132°$ .
Пример 2. Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна хорда АС, если угол ABC равен 30°, а диаметр окружности 10 см?
Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 6, где $\angle ABC = 30°$ .
Рис.6
Так как вписанный угол ABC равен $\frac{1}{2} \angle АОС\text{ , то }\angle АОС = 60°. $ Следовательно, треугольник АОС равносторонний, и, значит, хорда АС равна радиусу данной окружности. А так как диаметр равен 10 см, то радиус равен 5 см.
Следствие 1. Вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны (рис. 7).
Рис.7
В частности, углы, опирающиеся на диаметр, прямые.
Пример 3. Точка O — центр окружности, ∠ ACB = 25°. Найдите величину угла AOB (в градусах).
Видео-решение.
|