Числовые выражения составляются из чисел с использованием знаков действий (« + », « - », «•», «:») и скобок. Например, 32:4; 21•3+5; 3•(2:0,2-4) - числовые выражения.
Значением числового выражения называется число, получающееся в результате выполнения всех действий в этом числовом выражении. Например, значения числовых выражений, приведенных выше, равны соответственно 8; 68 и 18.
Выражение, в котором встречается деление на нуль, не имеет числового значения, так как на нуль делить нельзя. Говорят, что такие выражения не имеют смысла.
Выражение, содержащее некоторые переменные величины, называется выражением с переменными (например, 10t; 20a+10b; 3c:d и т.д.).
Значение выражения с переменными при данных значениях переменных — это значение числового выражения, которое получится, если в выражение с переменными вместо каждой переменной подставить данное ее значение.
Например, значение выражения 20t+10b при t=0,1; b=0,2 равно 20•0,1+10•0,2=2+2=4; значение выражения 3c:d при с=1; d=3 равно (3•1):3=1.
Для преобразования выражений применяются основные свойства сложения и умножения чисел:
Два выражения называются тождественно равными, если их значения равны при любых значениях переменных.
Тождество — это равенство, верное при любых значениях переменных.
Тождественное преобразование выражения - это замена выражения другим, тождественно равным ему, выражением.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Найдите значение выражения (3:(0,2 - 0,1) + 4) • 5.
Решение 1:
Решение 2: (3:(0,2 - 0,1) + 4) • 5 = (3:(0,1) + 4) • 5 = (30 + 4) • 5 = 34 • 5 = 170
Ответ: 170.
Пример 2. Найдите значение выражения (2mx + 3n) • у при х = 1; у = 2; m = 0,5; n = 0,3.
Решение: Подставим значения переменных в выражение: (2mx + 3n)•у = (2•0,5•1 + 3•0,3)•2 = (1 + 0,9)•2 = = 1,9•2 = 3,8.
Ответ: 3,8.
Пример 3. Вычислите значение выражения 11,2•3,1 - 11,2•1,1 + 22,4•(-0,5).
Решение 1: 11,2•3,1 - 11,2•1,1 + 22,4•(-0,5) = 11,2•(3,1 - 1,1) - 11,2 = 11,2•2-11,2 = 11,2•(2-1) = 11,2.
Решение 2: 11,2•3,1 - 11,2•1,1 + 22,4•(-0,5) = 11,2•3,1 - 11,2•1,1 - 11,2 = 11,2•(3,1 - 1,1 - 1) = 11,2•1 = 11,2.
Ответ: 11,2.
Пример 4. Упростите выражение (3х - 2у - 2) - (х - у) - 4 + 2х + у + 1.
Решение: (3х - 2у - 2) - (х - у) - 4 + 2х + у + 1 = 3х - 2у - 2 - х + у - 4 + 2х + у + 1 = (3х - х + 2х) - (2у - y - y) - (2 + 4 - 1) = 4x - 0 - 5 = 4x - 5.
Ответ: 4x - 5.