Целые выражения - это выражения, составленные из чисел и переменных с использованием действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля.
Дробные выражения допускают также деление на выражение с переменными.
Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.
Допустимые значения переменных - это те значения переменных, при которых выражение имеет смысл.
Рациональная дробь - это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены.
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель некоторой рациональной дроби умножить на один и тот же многочлен, не равный тождественно нулю, то получится дробь, равная исходной.
Тождество - это равенство, которое верно при всех допустимых значениях переменных, входящих в это равенство.
Свойства действий с рациональными дробями:
Если а, b, с — многочлены, причем многочлен c не равен нулю тождественно, то верно:
Если a, b,c,d- многочлены, причем многочлены b и d тождественно не равны нулю, то верно:
Если a, b, с, d - многочлены, причем многочлены b, с и d тождественно не равны нулю, то верно:
Пример 1. Сократите дробь $\frac{x^2-2xy+y^2-1}{x-y+1}$
Решение:
$\frac{x^2-2xy+y^2-1}{x-y+1} = \frac{(x-y)^2-1}{x-y+1} = \frac{(x-y-1)(x-y+1)}{x-y+1} = x-y-1 $
Ответ: х-у-1.
Пример 2. Упростите выражение $\frac{2x^2-5}{(x-5)^3} - \frac{45}{(x-5)^3}$
Решение:
$\frac{2x^2-5}{(x-5)^3} - \frac{45}{(x-5)^3} = \frac{2x^2-5-45}{(x-5)^3} = \frac{2(x^2-25)}{(x-5)^3} = \frac{2(x^2-5^2)}{(x-5)^3} = $
$= \frac{2(x-5)(x+5)}{(x-5)(x^2+5x+25)} = \frac{2(x+5)}{x^2+5x+25} = \frac{2x+10}{x^2+5x+25}$
Ответ: $\frac{2x+10}{x^2+5x+25}$
Пример 3. Упростите выражение $(\frac{3a^2}{a-b} - \frac{3b^2}{a+b}) \cdot \frac{a^2-b^2}{4(a+b)^2}$
Решение:
$(\frac{3a^2}{a-b} - \frac{3b^2}{a+b}) \cdot \frac{a^2-b^2}{4(a+b)^2} = \frac{3a^2(a+b) - 3b^2(a-b)}{a^2-b^2}\cdot \frac{a^2-b^2}{4(a+b)^2} =$
$= \frac{3a^3+3a^2b-3ab^2-3b^3}{4(a+b)^2} = \frac{3(a^3-b^3)+3ab(a-b)}{4(a+b)^2} = \frac{3(a-b)(a^2+ab+b^2)+3ab(a-b)}{4(a+b)^2} =$
$= \frac{3(a-b)(a^2+2ab+b^2)}{4(a+b)^2} = \frac{3}{4}a - \frac{3}{4}b = 0,75(a-b)$
Ответ: 0,75(a-b)
Пример 4. Выполните деление: $\frac{x^2-3x}{2y^2} : \frac{x-3}{4y}$
Решение:
$\frac{x^2-3x}{2y^2} : \frac{x-3}{4y} = \frac{x(x-3)\cdot 4y}{2y^2(x-3)} = \frac{2x}{y}$
Ответ: $\frac{2x}{y}$