Задачи бывают совершенно разными и принцип их решения зависит от типа задачи:
Остановимся на нескольких стандартных примерах текстовых задач.
Пример 1. Из пункта А в пункт В, расположенный в 24 км от А, одновременно отправились велосипедист и пешеход. Велосипедист прибыл в пункт В на 4 ч. раньше пешехода. Известно, что если бы велосипедист ехал с меньшей на 4 км/ч, скоростью, то на путь из А в В он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход. Найдите скорость пешехода.
Решение:
Обозначим:
x – скорость велосипедиста
y – скорость пешехода
х> 0 и у>0;
$$ S = V \cdot t \,\Rightarrow\, t = \frac {S}{V};$$
Разница во времени = 4 часа. Составляем баланс времени для обоих случаев и объединяем в систему:
$$
\left\{\begin{matrix}
\frac{24}{y} - \frac{24}{x} = 4
\\ \frac{24}{x-4} = \frac{1}{2}\cdot{24}{y}
\end{matrix}\right.
;
\left\{\begin{matrix}
24x-24y=4xy
\\ 2y=x-4
\end{matrix}\right.
;
\left\{\begin{matrix}
6x-6y=xy
\\ x=2y+4
\end{matrix}\right.
;
\\ \text{Решаем систему методом подстановки}
\\ 6(2y+4)-6y=(2y+4)y;
\\ 12y+24-6y=2y^2+4y;
\\ 2y^2-2y-24=0;
\\ y^2-y-12=0;
\\ y_{1,2} = \frac{1\pm\sqrt{1+48}}{2} = \frac{1\pm 7}{2};
\\ y_1 = \frac{1-7}{2} = -3\text{ - отбрасываем }
\\ \text{ (по условию задачи, скорость не может быть отрицательной)}
\\ y_2 = 4;
\\ \text{Подставляем значение y в } x=2y+4\text{ и находим x: } x_2 = 12;
$$
Скорость велосипедиста = x = 12 км/ч.
Скорость пешехода = y = 4 км/ч.
Ответ:
4 км/ч.
Пример 2. 60 деталей первый рабочий изготавливает на 3 ч. быстрее, чем второй. За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей, если, работая вместе, они изготавливают за 1 ч. 30 деталей.
Решение:
За 1 ч | |
---|---|
I рабочий | х деталей |
II рабочий | у деталей |
х> 0 и у>0;
$$
\left\{\begin{matrix}
\frac{60}{x}+3=\frac{60}{y}
\\ x+y=30
\end{matrix}\right.
;
\left\{\begin{matrix}
60(x-y)=3xy
\\ x=30-y
\end{matrix}\right.
;
\left\{\begin{matrix}
20(x-y)=xy
\\ x=30-y
\end{matrix}\right.
\\ 20(30-2y)=y(30-y);
\\ 600-40y=30y+y^2=0;
\\ y^2-704+600=0;
\\ y_{1,2}=\frac{35\pm\sqrt{225-600}}{1}=36\pm 25;
\\ y_1=60; x_1=-30; \text{ - отбрасываем!}
\\ y_2 =10; x_2=20;
\\ \frac{90}{10}=9\text{ч.}
$$
Ответ:
9 ч.
Пример 3. Вкладчик сначала снял со своего счета в Сбербанке $\frac{1}{5}$ своих денег, потом $\frac{5}{16}$ оставшихся и еще 999 рублей.
После этого у него на Сбербанке осталось $\frac{1}{4}$ всех денег. Каким был первоначальный вклад?
Решение: Пусть первоначальный вклад был х рублей. Тогда в первый раз вкладчик снял $\frac{x}{5}$ руб., после чего осталось $x-\frac{x}{5}=\frac{4x}{5}$ во второй раз он снял $\frac{5}{16}\cdot \frac{4}{5}x+999 = (\frac{1}{4}x+999)$ руб. После чего у него осталось $\frac{1}{4}$x руб. Составим и решим уравнение: $$ x-\frac{x}{5}-(\frac{1}{4}x+999)=\frac{1}{4}x; \\ (1-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4})x=999; \\ \frac{3}{10}x=999; \\ x=3330. $$
Ответ:
3330 рублей.
Пример 4. Двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр, а квадрат этой суммы в 2,25 раза больше самого числа. \\Найдите это число.
Решение: $$ \overline{ab} = 10a + b, a\in\mathbb{N}, b\in\{0;\mathbb{N}\}. \\ \left\{\begin{matrix} 10a+b=4(a+b) \\ (a+b)^2=2,25(10a+b) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=2a \\ (a+b)^2=2,25\cdot(10a+b) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=2a \\ (3a)^2=2,25\cdot 12a \end{matrix}\right. \\ 9a^2 = 27a \Rightarrow a = 3 (т.к. a \neq 0), b = 6. $$
Ответ:
36.
Пример 5. Из 40 т железной руды выплавляют 20 т стали, содержащей 6% примесей. Каков процент примесей в руде?
Решение:
в% | в кг | Руда | |
---|---|---|---|
100% | 40т | Примеси | х% |
(40 - 20) т | Сталь | 100% | 20т |
Примеси | 6% | ? |
Ответ:
53%.