Степень с натуральным показателем, ее свойства

Степенью некоторого числа a с натуральным показателем n (n>1) называется выражение $a^n = \underset{\text{n раз}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}}$ .

Например, $$ 5^3 = \underset{\text{3 пятёрки}}{\underbrace{5•5•5}} = 125; \\ (-2)^4 = (-2)•(-2)•(-2)•(-2) = 16 $$

• для любого положительного числа а: $a^n>0;\;0^n = 0$.
• для отрицательного числа а: $а^n>0$, если n - четное число и $a<0$, если n — нечетное число;
• $а^2 \geq 0$ для любого числа а.

Свойства степени с натуральным показателем:

• $a^1 = a$
• $a^0 = 1$, при а ≠ 0
• $a^{-n} = \frac{1}{a^n} \text{ и } \frac{1}{a^{-n}} = a^n$, при а ≠ 0
• $а^{2k} \geq 0$ , где 2k – чётная степень);

1. $a^m\cdot a^n = a^{m+n}$ — для любых чиселa a, m и n;
2. $a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ — для любых m, n и a≠0;
3. $(a\cdot b)^n = a^n\cdot b^n$ — для любых чисел а, b и n;
4. $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ — для любых чисел а, n и b≠0.
5. $(a^m)^n =a^{m\cdot n}$ — любых чисел a, m и n.

Пример 1. Найдите значение выражения: $(-2)^3 • 3^2 + 16^2$.

Решение:
Вначале выполним возведения в степень:

1. $(-2)^3 = (-2)•(-2)•(-2) = -8$
2. $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$
3. $16^2 = 16\cdot 16 = 256$

Теперь найдем значение выражения:
$(-2)^3 • 3^2 + 16^2 = (-8)•9 + 256 = 256 - 72 = 184$

Ответ: 184.

Пример 2. Упростите выражение $2x^2\cdot x^3 - х^7 : х^2$.

Решение: Пользуясь свойствами степеней, имеем:
$2x^2\cdot x^3 - x^7:x^2 = 2x^{2 + 3}- x^{7-2} = 2x^5 - x^5 = x^5$

Ответ: х⁵.

Пример 3. Упростите выражение $((x^2y)^3)^4$.

Решение: Пользуясь свойствами степеней, имеем:
$((x^2y)^3)^4 = (x^2y)^{3\cdot 4} = (x^2y)^{12} = (x^2)^{12} \cdot y^{12} = x^{2\cdot 12}\cdot y^{12} = x^{24}y^{12} $

Ответ: x²⁴y¹².

Пример 4. Найдите значение выражения: $5\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^2 - 16\cdot\frac{1}{16}=?$

Видео-решение.

Пример 5. Сократите дробь: $$ \frac{18^{n+3}}{ 3^{2n+5} \cdot 2^{n-2} } $$

Видео-решение.