Системы линейных уравнений

Линейное уравнение с двумя переменными - это уравнение вида ах + by = с, где х и у - переменные, a, b и с - некоторые числа. Решение уравнения с двумя переменными (не обязательно линейного) - это пара значений переменных, при подстановке которых в уравнение оно обращается в верное равенство.

Общий вид системы линейных уравнений с двумя переменными: $$ \left\{\begin{matrix} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{matrix}\right. $$

Решение системы уравнений с двумя переменными (не обязательно линейных) - это пара значений переменных, при подстановке которых в уравнение системы каждое из них обращается в верное равенство.

Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки:

1. выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2. подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3. решить полученное уравнение с одной переменной;
4. найти соответствующее значение второй переменной и выписать решение системы.

Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя переменными методом сложения:

1. умножить почленно уравнения системы, подобрав множители таким образом, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположны;
2. сложить почленно левые и правые части уравнений системы;
3. решить полученное уравнение с одной переменной;
4. найти соответствующее значение второй переменной и выписать решение системы.

Пример 1. Решите систему уравнений $$ \left\{\begin{matrix} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 \\ 2x - 3y = 2 \end{matrix}\right. $$

Решение: Из второго уравнения системы: $x = \frac{2+3y}{2}$

Подставим получившееся выражение в первое уравнение вместо х: $$ \frac{2+3y}{4} - \frac{y}{3} = 1 \\ \frac{6+9y-4y}{12} = 1 \\ 5y+6 = 12 \\ 5y = 6 \\ y = \frac{5}{6} $$

Найдём x: $$ x = \frac{2+3\cdot\frac{6}{5}}{2} \\ x = \frac{14}{5} $$

Ответ: (2,8; 1,2)

Пример 2. Решите систему уравнений $$ \left\{\begin{matrix} \frac{x}{2} - \frac{y}{4} = 2 \\ 2x + 3y = 5 \end{matrix}\right. $$

Решение: Умножив первое уравнение на (-4), получим систему: $$ \left\{\begin{matrix} -2x + y = -8 \\ 2x + 3y = 5 \end{matrix}\right. $$

Отсюда: $$ 4y = -3 \\ y = -\frac{3}{4} \\ x = \frac{5-3y}{2} \\ x = \frac{5 - 3\cdot(-\frac{3}{4})}{2} \\ x = \frac{29}{8} $$

Ответ: $(\frac{29}{8};-\frac{3}{4})$