Степень с целым показателем и ее свойства

Если a≠0 и n - целое отрицательное число, то $a^n = \frac{1}{a^{-n}}$.

Выражение $0^n\text{ , при }n\in \mathbb{Z}\,,\, n \leq 0$ не имеет смысла.

Например:

• $3^{-2} = \frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$
• $(-\frac{1}{3})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$

Свойства степени с целым показателем:

Для всех а≠0 и любых $m, n\in\mathbb{Z}$ верны равенства:

• $a^m\cdot a^n = a^{m+n}$
• $a^m : a^n = a^{m-n}$
• $(a^m)^n = a^{mn}$

Для всех а≠0, b≠0 и любого $n\in \mathbb{R}$ верны равенства

• $(ab)^n = a^n\cdot b^n$
• $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Стандартный вид числа b - это его запись в виде $a\cdot 10^n\text{, где }1\leq a < 10\,, n\in\mathbb{Z}$ . Число n называется порядком числа b.

Пример 1. Вычислите $(5\cdot 10^{-2} + 6^{-1}\cdot 36 - 20^{-1})^2$.

Решение:
$(5\cdot 10^{-2} + 6^{-1}\cdot 36 - 20^{-1})^2 = (5\cdot \frac{1}{10^2} + \frac{1}{6}\cdot 36 - \frac{1}{20})^2 = (\frac{1}{20} + 6 - \frac{1}{20})^2 = 6^2 = 36$

Ответ: 36.

Пример 2. Упростите выражение $(a^{-2} - b^{-2}):\frac{a-b}{ab}$

Решение:
$(a^{-2} - b^{-2}):\frac{a-b}{ab} = (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2})\cdot \frac{ab}{(a-b)} = \frac{b^2-a^2}{a^2b^2}\cdot\frac{ab}{a-b} = -\frac{(a-b)(a+b)}{(ab)^2}\cdot\frac{ab}{a-b} = -\frac{a+b}{ab}$

Ответ: $-\frac{a+b}{ab}$

Пример 3. Представьте число 36782 в стандартном виде и назовите его порядок.

Решение: 36782 = 3678,2 • 10 = 367,82 • 10² = 36,782 • 10³ = 3,6782 • 10⁴. Порядок числа равен 4.

Ответ: 3,6782 • 10⁴; порядок 4.

Пример 4. Найдите значение выражения: $5\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^2 - 16\cdot\frac{1}{16}=?$

Видео-решение.

Пример 5. Сократите дробь: $$ \frac{18^{n+3}}{ 3^{2n+5} \cdot 2^{n-2} } $$

Видео-решение.