Вероятность — числовая характеристика степени возможности появления какого-либо события в тех или иных условиях.
Вероятностью события A называется отношение числа исходов m, благоприятствующих его наступлению к числу всех исходов n (несовместных, единственно возможных и равновозможных): $$P(A) = \frac{m}{n}$$.
Будем различать достоверные и невозможные события. По определению, их вероятности соответственно равны 1 и 0.
| Пример 1 | Пример 2 |
|---|---|
| На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней. | Какова вероятность того, что случайно выбранное двухзначное число делится на 5. |
| Пример 3 | Пример 4 |
| Проводится жеребьёвка лиги чемпионов по футболу. На первом этапе жеребьёвка 8 команд, среди которых команда Барсилоны, распределяется по 8 группам, по 1 в каждую группу. Затем, в эти же группы распределяются случайным образом ещё 8 комманд, среди которых команда Зенит. Найдите вероятность того, что Зенит окажется в одной группе с Барсилоной. | Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов - первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора окажется запланированным на последний день конференции? |
Если число исходов некоторого опыта бесконечно, то классическое определение вероятности не может служить характеристикой степени возможности наступления того или иного события. В этом случае пользуются геометрическим подходом к определению вероятности. При этом вероятность события A есть отношение меры A (длины, площади, объема) к мере U пространства элементарных событий.
Произведением событий A и B называется событие $C = A \cdot B$, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие A, и событие B, т. е. оба события произошли.
Два события A и B называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события A и B называются зависимыми.
Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению этих вероятностей: $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$.
| Пример 1 |
|---|
| Команда A играет с командой B и с командой C. Найдите вероятность того, что команда А будет владеть мячом в двух матчах. |
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.
Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.
Если событие A может произойти с вероятностью p и опыт повторяют n раз, то вероятность, что оно наступит хотя бы один раз, есть: $1 - q^n$ , где $q = 1 - p$.
Суммой событий A и B называется событие $C = A + B$, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий A или B, т. е. в наступлении события A, или события B, или обоих этих событий вместе, если они совместны.
Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий: $P(A + B) = P(A) + P(B)$.
Пусть A и B — зависимые события. Условной вероятностью $P_A (B)$ события B называется вероятность события B, найденная в предположении, что событие A уже наступило.
Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило: $P(AB) = P(A)P_A (B)$.
Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$.
Для многократно повторяемых опытов справедлива формула Бернулли: $P_{m,\,\,n} = C_n^{\,m} \cdot p^m \cdot q^{n - m}$ , где m — число удачных исходов среди проводимых n опытов, p — вероятность наступления благоприятного исхода в единичном опыте, $q = 1 - p$.