Уравнения с одной переменной

Уравнение с одной переменной — это равенство, содержащее переменную.

Корень уравнения - это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что корней нет.

Равносильные уравнения - уравнения с одними и теми же корнями.

Следующие преобразования: перенос слагаемого из одной части в другую с изменением знака этого слагаемого; умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же не равное нулю число приводят уравнение к равносильному ему уравнению.

Линейное уравнение с одной переменной - это уравнение вида a*x = b, где х — переменная, а и b - некоторые числа.

1. Если а = 0 и b = 0, то это уравнение имеет бесконечно много решений;
2. Если а ≠ 0, то это уравнение имеет один корень: $x = \frac{b}{a}$
3. Если а = 0 и b ≠ 0, то это уравнение не имеет корней.

—- Пример 1. Решите уравнение $\frac{2x-1}{3} - \frac{x+1}{2} = 2$

Решение:

• $\frac{2x-1}{3} - \frac{x+1}{2} = 2$
• $\frac{(2x-1)*2}{3*2} - \frac{(x+1)*3}{2*3} = 2$
• $\frac{(4x-2) - (3x+3)}{6} = 2$
• $\frac{4x-2 - 3x-3}{6} = 2$
• $\frac{x - 5}{6} = 2$
• $x - 5 = 2*6$
• $x - 5 = 12$
• $x = 12 + 5$
• $x = 17$

Ответ: 17.

Пример 2. Решите уравнение $5x + \frac{2x+3}{4} = \frac{3x-1}{2} + 4x$

Решение:

• $5x + \frac{2x+3}{4} = \frac{3x-1}{2} + 4x$
• $\frac{20x+2x+3}{4} = \frac{3x-1+8x}{2}$
• $\frac{22x+3}{4} = \frac{11x-1}{2}$
• $22x+3 = 22x-2$
• $22x-22x = -2-3$
• $0 = -5$, но такого быть не может, значит данное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.