Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть. Пусть а, b принадлежит R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. $$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$ 2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ 3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы. $$a^2 - b^2 = (a-b) (a+b)$$ 4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения. $$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ 5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$ 6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений. $$a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)$$ 7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

$$a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)$$ Применение формул сокращенного умножения при решении примеров. Пример 1. Вычислить а)$$(40+1)^2$$ Решение: Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем $$(40+1)^2 = 40^2 + 2 · 40 · 1 + 1^2 = 1600 + 80 + 1 = 1681$$ б)$$98^2$$ Решение: Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим $$98^2 = (100 – 2)^2 = 100^2 - 2 · 100 · 2 + 2^2 = 10000 – 400 + 4 = 9604$$ Пример 2. Упростить выражение. $$(х - у)^2 + (х + у)^2$$ Решение: Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений $$(х - у)^2 + (х + у)^2 = х^2 - 2ху + у^2 + х^2 + 2ху + у^2 = 2х^2 + 2у^2$$