Аксиомы статики

Система аксиом статики, о которой мы уже упоминали, была сформулирована И.Ньютоном в 1687 г. в его работе «Математические основы натуральной философии». Часть этих аксиом известна из школьного курса физики как законы Ньютона, хотя первый из них – закон инерции был сформулирован еще Г.Галилеем.

1. Аксиома инерции. Под действием уравновешенной системы сил тело движется прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя.

2. Аксиома равновесия системы двух сил. Система двух сил уравновешена в том и только в том случае, если эти силы:

Отметим, в частности, что из условия: $(\vec{Р_1} , \vec{Р_2}) \sim 0$ следует, что $\vec{P_1} = - \vec{P_2}$.

Аксиома равновесия системы двух сил

Рис.1

3. Аксиома присоединения или исключения уравновешенной системы сил. Действие системы сил на тело не изменится, если к ней присоединить (исключить из нее) уравновешенную систему сил.

Следствием этой аксиомы является следующая

Теорема 1. Действие силы на ТТ не изменится, если эту силу перенести вдоль линии действия в любую точку этого тела.

Формулировка теоремы означает, что сила $\vec{Р}$, приложенная в точке А твердого тела, эквивалентна силе $\vec{{Р}'}$ , приложенной в точке В того же тела и лежащей на линии действия силы $\vec{Р}$. При этом вектор $\vec{Р}$ равен вектору $\vec{Р'}$ : $\vec{Р} = \vec{Р'}$ (Рис.2 а,в).

Формулировка теоремы означает, что сила P, приложенная в точке А твердого тела, эквивалентна силе Р'

Рис.2

Для доказательства присоединим к системе, состоящей из единственной силы $\vec{Р}$ , уравновешенную систему сил, приложенных в точке В : $\vec{Р'}, \vec{Р''} \sim 0$, выбрав $\vec{Р'} = \vec{Р} = -\vec{Р''}$ (Рис.1.3б).

Тогда в силу аксиом 2 и 3:

$$(\vec{Р}) \sim (\vec{Р}, (\vec{Р'}, \vec{Р''})) \sim ((\vec{Р}, \vec{Р''}), \vec{Р'} ) \sim (\vec{Р'})$$

, поскольку силы $(\vec{Р}, \vec{Р''})$ также образуют уравновешенную систему. Теорема доказана.

4. Аксиома параллелограмма. Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке пересечения их линий действия и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.

Отметим, что математически рассмотренная процедура определения равнодействующей соответствует нахождению суммы векторов (Рис.3):

$$(\vec{Р_1}, \vec{Р_2}) \sim \vec{R} \Rightarrow \vec{R} = \vec{Р_1} + \vec{Р_2}$$

Рис.3

Для определения модуля равнодействующей возведем последнее выражение в квадрат:

$${|\vec{R}|}^{2} = R^2 = (\vec{Р_1}^2 + \vec{Р_2}^2)^2 = {P_1}^2 + {P_2}^2 + 2(\vec{Р_1}\cdot\vec{Р_2}) = {P_1}^2 + {P_2}^2 + 2 P_1 P_2 \cos(\vec{Р_1}\cdot\vec{Р_2})$$

откуда получим искомое выражение:

$$R = \sqrt{{P_1}^2 + {P_2}^2 + 2 P_1 P_2 \cos(\alpha)}$$

, где $\alpha$ угол между векторами $\vec{Р_1}$ и $\vec{Р_2}$.

Построение параллелограмма можно, очевидно, заменить построением силового треугольника Oab.

5. Аксиома действия и противодействия. Два тела взаимодействуют с силами $\vec{Р_1}$ и $\vec{Р_2}$, равными по величине и противоположными по направлению:

$$\vec{Р_1} = - \vec{Р_2}$$

Отметим, что эти силы в отличие от сил, о которых идет речь в аксиоме 2, системы не образуют, поскольку приложены к разным телам.

6. Аксиома отвердевания. Равновесие деформируемого тела не нарушится, если его считать абсолютно твердым.

Эта аксиома позволяет рассматривать равновесие не только абсолютно твердых, но также деформируемых тел и даже жидкости. Например – в гидростатике.

7. Аксиома освобождаемости от связей. Несвободное тело можно считать свободным, если вместе с активными силами приложить к нему реакции отброшенных связей.

Отметим, что во всех предыдущих аксиомах рассматривались свободные тела. Соответственно для свободных тел впоследствии будут получены условия равновесия и теоремы статики. В то же время все окружающие нас строительные конструкции и сооружения представляют собой примеры тел несвободных. Отсюда понятна значимость последней аксиомы, которая позволяет от несвободных тел переходить к свободным, а также необходимость умения определять реакции этих связей.

Примечания: