Частные случаи приведения плоской системы сил

В зависимости от значений главного вектора $\vec{R_0}$ и главного момента $\vec{M_0}$ возможны следующие случаи приведения плоской системы сил.

  1. $R_0 = 0,\, M_0 = 0$ – система сил находится в равновесии;
  2. $R_0 = 0,\, M_0 \neq 0$ – система эквивалентна паре сил с моментом, равным главному моменту системы, который в этом случае не зависит от выбора центра приведения;
  3. $R_0 \neq 0,\, M_0 = 0$ – система эквивалентна равнодействующей $\vec{R}$ ,равной и эквивалентной главному вектору системы $\vec{R_0}$ , линия действия которой проходит через центр приведения: $\vec{R} = \vec{R_0} , \vec{R} \sim \vec{R_0}$ ;
  4. $R_0 \neq 0,\, M_0 \neq 0$ – система эквивалентна равнодействующей $\vec{R}$, равной главному вектору системы $\vec{R_0}$ , ее линия действия проходит на расстоянии $d = \frac{|M_0|}{R_0}$ от центра приведения.

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть доказательство леммы Пуансо в обратном направлении, сменив силу $\vec{P}$ на $\vec{R}$, а $\vec{P'}$ – на $\vec{R_0}$ .

В самом деле, пусть система эквивалентна главному вектору $\vec{R_0}$ и главному моменту $\vec{M_0}$ (Рис.1а). Заменим $\vec{M_0}$ парой сил $(\vec{R}, \vec{R'})$ с моментом $M(\vec{R}, \vec{R'}) = М_0$ , выбрав силы пары равными по модулю и параллельными $\vec{R_0}$ , а ее плечо $d = \frac{|M_0|}{R_0} $ (Рис.1б). Тогда

$$(\vec{R_0}, \vec{M_0}) \sim (\vec{R_0}, (\vec{R}, \vec{R'})) \sim (\vec{R}, (\vec{R_0}, \vec{R'}) \sim \vec{R}$$

, поскольку $(\vec{R_0}, \vec{R'}) \sim 0$ . Таким образом, система $(\vec{R_0}, \vec{M_0})$ действительно эквивалентна равнодействующей $\vec{R}$ , линия действия которой проходит на расстоянии $d = \frac{|M_0|}{R_0}$ от центра приведения.

Теорема Вариньона (о моменте равнодействующей плоской системы сил)

Рис.1

Следствием этого случая приведения является

Теорема Вариньона (о моменте равнодействующей плоской системы сил). Момент равнодействующей плоской системы сил относительно произвольного центра О равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно этого центра.

Выбирая центр О, о котором идет речь в теореме, в качестве нового центра приведения системы сил, состоящей из единственной силы – равнодействующей $\vec{R}$ , и учитывая, что $R = R_0$ получим:

$$M_0(\vec{R}) = \pm R \cdot d = \pm R \cdot \frac{|M_0|}{R_0} = M_0 = \sum M_0 (\vec{P_i})$$