https://www.wiki.eduvdom.com/ 2026-04-14T14:45:12+0300 https://www.wiki.eduvdom.com/ https://www.wiki.eduvdom.com/_media/wiki/favicon.ico text/html 2014-12-15T20:31:55+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.wiki.eduvdom.com/subjects/diffury/%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%B8_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8?rev=1418664715&do=diff [ ⇐ Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ) ] Геометрические и физические задачи * Чтобы решить геометрические задачи, надо построить чертеж, обозначить искомую кривую через y=y(x)$x,y,{y}'$$\Delta x$$y(x+\Delta x)-y(x)$$\Delta x$$\Delta x \rightarrow 0$$\alpha$$|y\;\;{y}'|$$ \left | y \;\; \sqrt{ 1+{y}'^{2} } \right | $$$ \left | {yy}' \right | + \left | y\sqrt{1+{y}'^{2}} \right | = a $$${y}'$$$ {y}'=\pm\frac{a^{2}-y^{2}}{2ay} \;;\; \frac{2ydy}{a^{2}-y^{2}}=\pm\frac{dx}… text/html 2014-12-15T20:24:49+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.wiki.eduvdom.com/subjects/diffury/%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F?rev=1418664289&do=diff [ ⇐ Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ) ] Дифференциальные уравнения (основные понятия) Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут входить дифференциалы.$$F(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n)})=0 \qquad (1)$$$${y}'' + y = 0 \qquad (2)$$$y = \sin{x}$$y = \sin{x}$${(\sin{x})}'' + \sin{x} = 0$$y = \frac{1}{2}\sin{x} \,,\,\, y = \cos{x} \,,\,\, y = 3\cos{x}$$y=\sin{x}+\frac{1}{2}… text/html 2014-12-15T20:13:41+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.wiki.eduvdom.com/subjects/diffury/%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0?rev=1418663621&do=diff [ ⇐ Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ) ] Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения 1-ого порядка Дифференциальные уравнения 1-ого порядка имеют вид: $$F(x,\,y,\,{y}')=0$$$${y}'=f(x,\,y)$$${y}'=f(x,\,y)$$\frac{dx}{dy}$$(x_0 ,\, y_0)$$y=\varphi(x)$$y=y_0$$x=x_0$$y=\varphi(x, C)$$y=y_0$$x=x_0$$y|_{x=x_0}=y_0$$c=c_0$$y=\varphi(x, C_0)$$$F(x,\,y,\,{y}')=0$$${y}'$$${y}'=f(x,\,y)$$… text/html 2014-12-15T20:28:54+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.wiki.eduvdom.com/subjects/diffury/%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D1%83%D1%8E%D1%89%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C?rev=1418664534&do=diff [ ⇐ Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ) ] Интегрирующий множитель В некоторых случаях, когда уравнение $$M(x,y)dx +N(x,y)dy =0 \qquad (1)$$ не является уравнением в полных дифференциалах, удаётся подобрать функцию $\mu (x,y)$$du=\mu Mdx+\mu Ndx $$\mu(x,y)$$$ \frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N)$$$ N\frac{\partial\mu}{\partial y}-M\frac{\partial\mu}{\partial y}= \left ( \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} \right ) \mu $$… text/html 2014-12-15T20:30:06+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.wiki.eduvdom.com/subjects/diffury/%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_2_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0?rev=1418664606&do=diff [ ⇐ Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ) ] Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-ого порядка $$ {y}''+{py}'+qy=0 \qquad (1) $$$$ k^{2}+pk+q=0 \qquad (2) $$$$ k_{1}=-\frac{p}{2}+\sqrt{ \frac{p^{2}}{4}-q } \\ k_{2}=-\frac{p}{2}-\sqrt{ \frac{p^{2}}{4}-q } $$$k_{1}$$k_{2}$$k_{1} \neq k_{2}$$$ y=C_{1}e^{k_{1}x}+C_{2}e^{k_{2}x} \qquad (3) $$$k_{1}$$k_{2}$$$ k_{1}=\alpha+i\beta \;… text/html 2014-12-15T20:27:44+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.wiki.eduvdom.com/subjects/diffury/%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0?rev=1418664464&do=diff [ ⇐ Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ) ] Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Линейным дифференциальным уравнением 1-ого порядка называется уравнение, линейное $$ \frac{dy}{dx} +p(x)y =Q(x) \qquad (1)$$$y=u(x)v(x)$$$ u \left ( \frac{dv}{dx} + p(x)v \right ) +V\frac{du}{dx} =Q(x) $$$\frac{dv}{dx} + p(x)v =0$$y=uv$${xy}'-2y=4x^{4}-x$$$ {y}'-y=-e^{-x} \,,\, y|_{x=0}=2 $$$y=u(x)v(x)$${y}'={u}'v+u{v}'$${y}'$$$ u({v}'-v)+{u}'v=-e^{-x} \\ u \left ( \frac… text/html 2014-12-15T20:30:39+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.wiki.eduvdom.com/subjects/diffury/%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_2_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0?rev=1418664639&do=diff [ ⇐ Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ) ] Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Неоднородные линейные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами - это уравнение вида $$ {y}''-{py}'-qy=f{x} \qquad (1)$$$$ P_{m}(x) $$$$ \widetilde{P}_{m}(x) $$$$ x^{S}\widetilde{P}_{m}(x) $$$$ P_{m}(x)e^{\alpha x} $$$\alpha$$$ \widetilde{P}_{m}(x)e^{\alpha x} $$$\alpha$$$ x^{S}\widetilde{P}_{m}(x)e^{\alpha x} $$$$ P_{n}(x)\cos{\bet… text/html 2014-12-15T20:31:20+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.wiki.eduvdom.com/subjects/diffury/%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_2_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0_2?rev=1418664680&do=diff [ ⇐ Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ) ] Линейное неоднородное дифференциальное уравнение * Из чего состоит ответ линейного неоднородного ДУ? * Какими способами можно решать такие примеры? text/html 2014-12-15T20:26:18+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.wiki.eduvdom.com/subjects/diffury/%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B5_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F?rev=1418664378&do=diff [ ⇐ Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ) ] Общее решение дифференциального уравнения Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида $$F(x,\;y,\;y',\;y'',\;\ldots,\;y^{(n)})=0,$$$$ y=\varphi(x,\;C_{1}^{0},\;C_{2}^{0},\;\ldots,\;C_{n}^{0}), $$$C_{1}^{0},\;\;C_{2}^{0},\;\;\ldots,\;\;C_{n}^{0}$$$ y=\varphi(x,\;C_{1},\;C_{2},\;\ldots,\;C_{n}) $$$C_{1},\;\;C_{2},\;\;\ldots,\;\;C_{n}$$C_{1},\;\;C_{2},… text/html 2014-12-15T20:26:37+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.wiki.eduvdom.com/subjects/diffury/%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F?rev=1418664397&do=diff [ ⇐ Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ) ] Однородные дифференциальные уравнения Функция f(x,y) называется однородной функцией своих аргументов измерения n, если справедливо тождество $$ f(tx,ty)=t^{n}f(x,y) $$${y}'=\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$\frac{dy}{dx}=\varphi\left (\frac{y}{x} \right )$$u=\frac{y}{x}$$y=u\cdot x \;;\; \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}\cdot x+u\cdot 1$$$ x\frac{du}{dx} = \varphi(u)-u $$${xy}'=x+2y$$$ {xy}' = \sqrt{x^{2} - y^{2}} + y $$$$ {y}' = \sqrt{ 1 - \left ( \fra… text/html 2014-12-15T20:29:19+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.wiki.eduvdom.com/subjects/diffury/%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0_%D0%B4%D1%83?rev=1418664559&do=diff [ ⇐ Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ) ] Понижение порядка дифференциального уравнения Аналогично интегрирующему множителю -- можно проинтегрировать уравнение $$ y^{n}=f(x,y^{(n-1)}) $$ , где (n-1) -- порядок производной функции y. Например: Уравнение вида $$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} =f \left ( y, \frac{dy}{dx} \right ) \qquad (2) $$ не содержит явным образом независимой переменной $$ \frac{dy}{dx}=p \qquad (3) $$$$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} =\frac{dp}{dx} =\frac{dp}{dy}… text/html 2014-12-15T20:25:47+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.wiki.eduvdom.com/subjects/diffury/%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BA%D0%BE%D1%88%D0%B8?rev=1418664347&do=diff [ ⇐ Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ) ] Решение задачи Коши (диффуры) Задача Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).$(x_0,y_0)$$(x_0,y_0)$$$ \left\{\begin{array}{lcl} {y}' &=& f(x,y) &\qquad (1) \\ y(x_0) &=& y_0 &\qquad (2) \end{array}\right. $$$x_0$$y=\phi(x)$$y\;… text/html 2014-12-15T20:28:08+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.wiki.eduvdom.com/subjects/diffury/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8?rev=1418664488&do=diff [ ⇐ Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ) ] Уравнение Бернулли Уравнение Бернулли имеет вид $$\frac{dy}{dx}+p(x)\cdot y=Q(x)\cdot y^{n} \qquad (1)$$ , где $n \neq 0$ . С помощью замены переменной $$z=\frac{1}{ y^{n-1} } \qquad (2)$$ уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное. Примеры Пример 1. Решить уравнение ${3y}'+y=\frac{1}{y^{2}}$$y^{2}$$y^{-n}$$$ 3y^{2}{y}'+y^{3}=1 $$$y^{3}=z$$3y^{2}{y}'=\frac{dz}{dx}$$$ \frac{dz}{dx}+z=1 \\ z=u… text/html 2014-12-15T20:28:31+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.wiki.eduvdom.com/subjects/diffury/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D1%85?rev=1418664511&do=diff [ ⇐ Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ) ] Уравнения в полных дифференциалах Дифференциальное уравнение вида $$M(x,y)dx +N(x,y)dy =0 \qquad (1)$$ называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции $u(x,y)$$$ Mdx+Ndy\equiv du\equiv \frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy =0$$$$ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} \qquad (2) $$$$ u(x,y)=C \qquad (3) $$$$ \int_{x_{0… text/html 2014-12-15T20:27:14+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.wiki.eduvdom.com/subjects/diffury/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D1%89%D0%B8%D0%B5%D1%81%D1%8F_%D0%BA_%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%BC?rev=1418664434&do=diff [ ⇐ Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ) ] Уравнения, приводящиеся к однородным Рассмотрим уравнения вида $$ \frac{dy}{dx} = f \left ( \frac{ax+by+c}{a{_1}x+b{_1}y+c{_1}} \right ) $$ $a,b,c,a{_1},b{_1},c{_1}$ — постоянные Если $c=c{_1}=0$ , то уравнение является однородным. Если хотя бы одно из чисел $c,c{_1}$$$ 1) \qquad \Delta = \begin{vmatrix} ab \\ a_{1}b_{1} \end{vmatrix} \neq 0 $$$\xi$$\eta$$x=\xi + h \,,\, y = \eta +k$$\xi \text{ и } \eta$$dy=d\eta \;;\… text/html 2014-12-15T20:25:23+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.wiki.eduvdom.com/subjects/diffury/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%81_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%8E%D1%89%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%81%D1%8F_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8?rev=1418664323&do=diff [ ⇐ Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ) ] Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Уравнения вида $\varphi_1(x)\Psi_1(y)dx=\varphi_2(x)\Psi_2(y)dy$ , в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от $\varphi_1(y)\varphi_2(x)$$$ \frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx = \frac{\Psi_2(y)}{\Psi_1(y)}dy $$$$ \int \frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx = \int \frac{\Psi_2(y)}{\Psi_1(y)}dy = C $$${xy}'-y=1$$(1+e^{x})y{y}'=e^{x}$$… text/html 2016-08-25T17:45:51+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.wiki.eduvdom.com/subjects/diffury/sidebar?rev=1472136351&do=diff Дифференциальные уравнения (диффуры) Теоретическая механика: статика, кинематика, динамика Теория вероятностей и математическая статистика FIXME Строительная механика для строительных специальностей FIXME Матанализ. Дифференциальное и интегральное исчисление FIXME Экономика ---------- Решение дифференциальных уравнений: Дифференциальные уравнения (основные понятия) Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными    • Решение зад… text/html 2014-12-15T20:23:23+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) https://www.wiki.eduvdom.com/subjects/diffury/start?rev=1418664203&do=diff Дифференциальные уравнения (диффуры) Дифференциальные уравнения -- уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами).$$ {y}'=\frac{dy}{dx} \;\;\;;\;\;\; {y}''=\frac{d^{2}y}{dx^{2}} $$