wiki.eduVdom.com subjects:mathematics

Арифметическая прогрессия

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-04-26T16:58:13+0300

Арифметическая прогрессия Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа. $d = a_{n+1} - a_n$$a_n = a_1 + d(n-1);$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n;$$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n;$$a_k = \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}, k = 2, 3, \dots, n-1;$$a_k + a_m = a_p + a_q\text{ , где }k+m=p+q;$$$ \left\{\begin{matrix} a_2 = a_1 + d = 6 \\ a_8 = a_1 + 7d = 42 \end{matrix}\right. $$$a_1$$a_7 = 2…

Выражения, преобразования выражений

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-02-01T15:41:17+0300

Выражения, преобразования выражений Числовые выражения составляются из чисел с использованием знаков действий (« + », « - », «•», «:») и скобок. Например, 32:4; 21•3+5; 3•(2:0,2-4) - числовые выражения.

Геометрическая прогрессия

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-08-16T17:28:58+0300

Математика ( Справочник ) * Математика ( Справочник ) * Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия — это последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена на одно и то же число.$q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$$b_n = b_1q^{n-1};$$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}\,\,\,,\,(q\neq 1);$$S_n = nb_1 \,\,\,,\,(q = 1);$$b_k^2 = b_{k-1}\cdot b_{k+1}\,\,\,,\,k=2,3, \dots ,n-1;$$b_k\cdot b_m = b_p\cdot b_q\…

subjects:mathematics:геометрическая_профессия

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-08-16T17:29:47+0300

График сложной функции

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-04-27T00:12:54+0300

График сложной функции Пример 1. Постройте график функции $$ y = \frac{x^2-5x+6}{2-x} $$ Видео-решение.

Действие с дробями простыми и десятичными

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-10-27T23:15:35+0300

Математика ( Справочник ) * Математика ( Справочник ) * Действие с дробями простыми и десятичными Действие с дробями простыми и десятичными Текст Рекомендуем [Пройти тест по математике: действие с дробями простыми и десятичными][Пройти обучение по математике: действие с дробями простыми и десятичными] ---------- ← Математика ( Справочник )Математика ( Справочник )Математика ( Справочник ) →…

Иррациональные уравнения

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-10-27T23:14:50+0300

Математика ( Справочник ) * Математика ( Справочник ) * Иррациональные уравнения Иррациональные уравнения Текст Рекомендуем [Пройти тест по математике: иррациональные уравнения][Пройти обучение по математике: иррациональные уравнения] ---------- ← Математика ( Справочник )Математика ( Справочник )Математика ( Справочник ) →…

Квадратичная функция (парабола)

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-04-26T16:56:26+0300

Квадратичная функция (парабола) Квадратичная функция - это функция, заданная формулой вида $у = ах^2 + bх + с$, где х - аргумент, $a, b, c \in \mathbb{R} , a \neq 0$. Рассмотрим функцию, заданную формулой $у = ах^2 (a\neq 0)$$y = ах^2$$(-\infty;\; 0]$$[0;\; +\infty)$$(-\infty;\;0]$$[0;\; +\infty)$$а>0\,y_{мин} = 0\text{ , при }а<0\,y_{макс} = 0$$у = ах^2 + n$$у = ах^2$$y = a(x-m)^2$$у = ах^2$$y = ax^2 + bx + c$$(-\frac{b}{2a}\;;\;\frac{b^2-4ac}{4a})$…

Квадратные корни

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-02-01T20:53:40+0300

Квадратные корни Натуральные числа - это числа 1, 2, 3, 4, ..., которые употребляются при счете. Множество натуральных чисел обозначается $\mathbb{N}$. Целые числа$\mathbb{Z}$$\mathbb{Q}$$\frac{m}{n} \text{, где }m \in \mathbb{Z} \,, m \in \mathbb{Q} («\in»$$\mathbb{R}$$4^2 = (-4)^2 = 16$$\sqrt{a}$$\sqrt{25} = 5\text{, т.к. }5\geq 0$$5^2 = 25; \sqrt{0}=0\text{ , т.к. }0\geq 0\text{ и }0^2 = 0$$\sqrt{a} = b\text{ , если }b \geq 0 и b^2 = а$$\sqrt{a}$$х^2 = а$$х_1 = -\sqrt{a}\text{ и }х_2 = -\sq…

Квадратные уравнения

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-12-13T22:30:45+0300

Квадратные уравнения Уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где x - переменная, а, b, с -- некоторые числа, причем a ≠ 0 , называется квадратным уравнением. Квадратное уравнение с $х^2 + bx + с = 0$$b = 0\text{ и }c = 0: ax^2=0$$b = 0\text{ и }c \neq 0: ах^2 + с = 0$$x^2 = -\frac{c}{a}$$\frac{c}{a}>0\text{, то }-\frac{c}{a}<0$$\frac{c}{a}<0\text{, то }-\frac{c}{a}>0$$x_{1,2} = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$$b \neq 0\,,\,c=0: ax^2 + bx = 0$$x\cdot(ax + b) = 0$$x_1 = 0\text{ и }x_2 = -\frac{b}{a}\text{, г…

Координатная прямая, сравнение чисел

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-04-23T22:37:04+0300

Координатная прямая, сравнение чисел Пример 1. На координатной прямой отмечены числа a и b. a<0 и 0

Корень n-я степени, степень с рациональным показателем и их свойства

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-02-01T23:09:06+0300

Корень n-я степени, степень с рациональным показателем и их свойства Число, n-я степень которого равна a, называется корнем n-й степени из числа $a (n\in\mathbb{N}) и обозначается $$a\geq 0 ; b \geq 0 \text{ , то } \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$$a \geq 0; b \geq 0 \text{ , то } \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$n,\,k\in,\,a\geq 0\text{ , то } \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$$n,\,k\in,\,a\geq 0\text{ , то } \sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$$a>0\text{ ,…

Линейная функция (прямая пропорциональность)

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-02-02T22:25:38+0300

Линейная функция (прямая пропорциональность) Линейной функцией называется функция, заданная формулой вида y = kx + b, где x - аргумент, $k,b \in \mathbb{R}$ . График линейной функции - прямая.$x = -\frac{b}{k}$$x>-\frac{b}{k}$$x < -\frac{b}{k}$$x < —\frac{b}{k}$$x > —\frac{b}{k}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$

Метод рационализации

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-05-19T17:32:36+0300

Математика ( Справочник ) * Математика ( Справочник ) * Метод рационализации Метод рационализации Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, $3^{x^2+3x-4}<3^{5-x}$$$ (3-1)(x^2+3x-4-(5-x))<0. \\ x^2+4x-9< 0; \\ (x-(-2-\sqrt{13}))(x-(-2+\sqrt{13}))<0; \\ x\in (-2-\sqrt{13};-2+\sqrt{13}); $$$(-2-\sqrt{13};-2+\sqrt{13})$$\log_{x+7}{(3x+18)}\leq\log_{x+7}{(x+5)}$$$ \left\{\begin{matrix} x+7>0 \\ x+7\neq 1 \\ 3…

Нахождение множества значений функции

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2018-09-19T21:14:36+0300

Математика ( Справочник ) * Математика ( Справочник ) * Множество значений функции Нахождение множества значений функции Обозначения * D(f) --- те значения, которые может принимать аргумент, т.е. $y = kx+ b$$y = x^{2n}$$y = x^{2n +1}$$y = k/x$$y = x^{\frac{1}{2n}}$$y = x^{\frac{1}{2n+1}}$$y = a^{x}$$y = \log_{a}{x}$$y = \sin{x}$$y = \cos{x}$$y = {\rm tg}\, x$$y = {\rm ctg}\, x$$y = \arcsin{x}$$y = \arccos{x}$$y = {\rm arctg}\, x$$y = {\rm arcctg}\, x$$9-x^{2}\geq 0$$f'(x)=-\frac{x}{\s…

Неравенства с одной переменной и их системы

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-09-14T19:46:55+0300

Неравенства с одной переменной и их системы Общий способ сравнения чисел Число а больше числа b (а>b), если их разность (а - b) --- положительное число; число а меньше числа b, если их разность (а - b) $c\in\mathbb{R}$$f(x) = (x - x_1)(x - x_2) \cdot \dots \cdot (x - x_n)>0 (<0)$$x_1 x_2, \ldots, x_n$$x_1, x_2, \ldots, x_n$$\frac{4x-1}{2} - x > 3х + 2$$\frac{4x-1}{2} - x \geq 3х + 2$$\frac{4x-1}{2} - x > 3х + 2$$\frac{4x-1}{2} - x \geq 3х + 2$$$ \frac{4x-1}{2} - x > 3х + 2 \\ \frac{4x-1-2x}…

Одночлены, многочлены

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-04-26T17:32:42+0300

Одночлены, многочлены Одночлены Одночленом называется выражение, являющееся произведением чисел, переменных и их степеней. Например, выражения 2а$(a\pm b)^2 = a^2\pm 2ab+b^2$$(a\pm b)^3 = a^3\pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$a^3\pm b^3 = (a\pm b)(a^2\mp ab + b^2)$$2а^2\cdot (-3)^2b^3\cdot а\cdot а(-2)b$$2а^2\cdot (-3)^2b^3\cdot а\cdot а(-2)b = 2\cdot 9\cdot (-2)а^2\cdot а\cdot b^3\cdot b = -36a^3b^4$$2х(х-3)^2 - (х-1)(2х^2+2)$$2х(х-3)^2 - (х-1)(2х^2+2) = 2х(х^2-6х+9) - (2х^3+…

Рациональные дроби и их свойства

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-02-01T20:36:58+0300

Рациональные дроби и их свойства Целые выражения - это выражения, составленные из чисел и переменных с использованием действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля.$\frac{a}{c}+\frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$$\frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}$$\frac{x^2-2xy+y^2-1}{x-y+1}$$\frac{x^2-2xy+y^2-1}{x-y+1} = \frac{(x-y)^2-1}{x-y+1} = \frac{(x-y-1…

Рациональные числа

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-04-23T21:52:24+0300

Рациональные числа Пример 1 Значение какого из выражений является числом рациональным? * $(\sqrt{6}-3)\cdot(\sqrt{6}+3)$ * $\frac{(\sqrt{5})^2}{\sqrt{10}}$ * $\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}$ * $(\sqrt{6}-3)^2$ Видео-решение.

Решение текстовых задач

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-02-03T16:43:23+0300

Решение текстовых задач Задачи бывают совершенно разными и принцип их решения зависит от типа задачи: * Задачи на движение * Баланс пути$$ S = V \cdot t \,\Rightarrow\, t = \frac {S}{V};$$$$ \left\{\begin{matrix} \frac{24}{y} - \frac{24}{x} = 4 \\ \frac{24}{x-4} = \frac{1}{2}\cdot{24}{y} \end{matrix}\right. ; \left\{\begin{matrix} 24x-24y=4xy \\ 2y=x-4 \end{matrix}\right. ; \left\{\begin{matrix} 6x-6y=xy \\ x=2y+4 \end{matrix}\right. ; \\ \text{Решаем систему методом подстановки} \\ 6(2y+…

Степень с натуральным показателем, ее свойства

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-04-26T17:48:30+0300

Степень с натуральным показателем, ее свойства Степенью некоторого числа a с натуральным показателем n (n>1) называется выражение $a^n = \underset{\text{n раз}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}}$ . Например, $$ 5^3 = \underset{\text{3 пятёрки}}{\underbrace{5•5•5}} = 125; \\ (-2)^4 = (-2)•(-2)•(-2)•(-2) = 16 $$$a^n>0;\;0^n = 0$$а^n>0$$a<0$$а^2 \geq 0$$a^1 = a$$a^0 = 1$$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \text{ и } \frac{1}{a^{-n}} = a^n$$а^{2k} \geq 0$$a^m\cdot a^n = a^{m+n}$$a^m : a^n = \frac{a^m…

Системы линейных уравнений

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-02-02T18:12:46+0300

Системы линейных уравнений Линейное уравнение с двумя переменными - это уравнение вида ах + by = с, где х и у - переменные, a, b и с - некоторые числа. Решение уравнения с двумя переменными (не обязательно линейного) - это пара значений переменных, при подстановке которых в уравнение оно обращается в верное равенство.$$ \left\{\begin{matrix} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{matrix}\right. $$$$ \left\{\begin{matrix} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 \\ 2x - 3y = 2 \end{matrix}\right. $$$x = \frac{2+3…

Степенная функция

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-02-03T00:09:57+0300

Степенная функция Функция у=f(x) называется четной, если область ее определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента х выполняется равенство $у = х^n$$n\in\mathbb{N}$$у = х^n$$n(n = 2k, k \in \mathbb{N})$$[0;\; +\infty)$$(-\infty;\; 0]$$[0;\; +\infty)$$у = х^n$$(-\infty\;; +\infty)$$\mathbb{R}$

Степень с целым показателем и ее свойства

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-04-26T17:48:28+0300

Степень с целым показателем и ее свойства Если a≠0 и n - целое отрицательное число, то $a^n = \frac{1}{a^{-n}}$. Выражение $0^n\text{ , при }n\in \mathbb{Z}\,,\, n \leq 0$ не имеет смысла. Например: * $3^{-2} = \frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$ * $(-\frac{1}{3})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$ Свойства степени с целым показателем:$m, n\in\mathbb{Z}$$a^m\cdot a^n = a^{m+n}$$a^m : a^n = a^{m-n}$$(a^m)^n = a^{mn}$$n\in \mathbb{R}$$(ab)^n = a^n\cdot b^n$$(\frac{a}{b})^…

Теория вероятностей

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-05-07T22:49:14+0300

Теория вероятностей Вероятность — числовая характеристика степени возможности появления какого-либо события в тех или иных условиях. $$P(A) = \frac{m}{n}$$$C = A \cdot B$$P(AB) = P(A) \cdot P(B)$$1 - q^n$$q = 1 - p$$C = A + B$$P(A + B) = P(A) + P(B)$$P_A (B)$$P(AB) = P(A)P_A (B)$$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$$P_{m,\,\,n} = C_n^{\,m} \cdot p^m \cdot q^{n - m}$$q = 1 - p$

Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-24T18:37:55+0300

Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы Отметим на координатной оси Ох справа от точки О точку А и построим окружность с центром в точке О и радиусом ОА (так называемым начальным радиусом).$$\sin{\alpha} = \frac{y}{R}\;;\; \cos{\alpha} = \frac{x}{R}\;;\; {\rm tg}\, \alpha = \frac{y}{x}\;;\; {\rm ctg}\, \alpha = \frac{x}{y}$$$\frac{\pi}{6}$$\frac{\pi}{4}$$\frac{\pi}{3}$$\frac{\pi}{2}$$\pi$$\frac{3\pi}{2}$$2\pi$$\sin \alpha$$\frac{1}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$…

Уравнения с одной переменной

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-02-02T17:42:53+0300

Уравнения с одной переменной Уравнение с одной переменной — это равенство, содержащее переменную. Корень уравнения - это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.$x = \frac{b}{a}$$\frac{2x-1}{3} - \frac{x+1}{2} = 2$$\frac{2x-1}{3} - \frac{x+1}{2} = 2$$\frac{(2x-1)*2}{3*2} - \frac{(x+1)*3}{2*3} = 2$$\frac{(4x-2) - (3x+3)}{6} = 2$$\frac{4x-2 - 3x-3}{6} = 2$$\frac{x - 5}{6} = 2$$x - 5 = 2*6$$x - 5 = 12$$x = 12 + 5$$x = 17$$5x + \frac{2x+3}{4} = \frac{3x-1}…

Уравнения - к линейным или квадратным

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-04-05T10:44:53+0300

Математика ( Справочник ) * Математика ( Справочник ) * Уравнения - к линейным или квадратным Уравнения - к линейным или квадратным Примечание: Кандидатов на корни уравнения, нужно искать среди множителей свободного члена приведённого уравнения.

Формулы сокращённого умножения

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-08-16T18:22:14+0300

Математика ( Справочник ) * Математика ( Справочник ) * Формулы сокращённого умножения Формулы сокращённого умножения Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть. Пусть а, b принадлежит R. Тогда:$$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$$$a^2 - b^2 = (a-b) (a+b)$$$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$$$a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)$$$$(40+1)^2$$$$(40+1)^2 = 40^2 + 2 · 40 · 1 + 1^2 = 1600 + 80 + 1 = 1681$$$$98^2$$$$98^2 = (100 – 2)^2 = 100^2 - 2 · 100 · 2 + 2^2 = 10000 – 400 + 4…

Функции, их свойства

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-04-23T22:41:48+0300

Функции, их свойства Функция - это такая зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.$x_1,\,,x_2 \in I$$x_1f(x_2)$

Гипербола (обратная пропорциональность)

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2013-02-02T22:41:35+0300

Гипербола (обратная пропорциональность) Обратной пропорциональностью называется функция, заданная формулой $y=\frac{k}{x}$ , где х - аргумент, $k\in\mathbb{R}\,,\,k\neq 0$. Область определения этой функции: x ≠ 0$y=\frac{k}{x}$$y=\frac{k}{x}$$y=\frac{k}{x}$

subjects:mathematics:sidebar

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2018-09-16T18:02:30+0300

Геометрия ( Справочник ) Стереометрия ( Справочник ) Математика ( Справочник ) Русский язык ( Справочник ) Физика ( Справочник ) ---------- Математика: Основы: Координатная прямая, сравнение чисел Рациональные числа Числа и выражения: Выражения, преобразования выражений Степень с натуральным показателем, ее свойства Одночлены, многочлены Рациональные дроби и их свойства Квадратные корни Степень с целым показателем и ее свойства Корень n-я степени, с…

Математика ( Справочник )

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2018-09-16T18:01:51+0300

На нашем сайте домашнего обучения доступно: * Обучение по физике, математике и геометрии * Подготовка к ГИА (9 класс) и ЕГЭ (11 класс) Геометрия ( Справочник )Стереометрия ( Справочник )Математика ( Справочник )Русский язык ( Справочник ) Физика ( Справочник ) Математика ( Справочник ) * Основы * Координатная прямая, сравнение чисел * Рациональные числа * Числа и выражения…