Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:diffury:геометрические_и_физические_задачи

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:diffury:геометрические_и_физические_задачи [2014/12/14 23:25]
subjects:diffury:геометрические_и_физические_задачи [2014/12/15 20:31] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +|[** ⇐ [[start|Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ)]] **]|
  
 +====== Геометрические и физические задачи ======
 +  - Чтобы решить геометрические задачи,​ надо построить чертеж,​ обозначить искомую кривую через ''​y=y(x)'' ​ (// если задача решается в прямоугольных координатах //) и выразить все упоминаемые в задаче величины через $x,​y,​{y}'​$. Тогда данное в условии задачи соотношение превращается в дифференциальное уравнение,​ из которого можно найти искомую функцию ''​y(x)''​ .
 +  - В физических задачах надо прежде всего решить,​ какую из величин взять за независимое переменное,​ а какую -- за искомую функцию. Затем надо выразить,​ на сколько изменится искомая функция ''​y''​ , когда независимое переменное ''​x''​ получит приращение $\Delta x$ , т.е. выразить разность $y(x+\Delta x)-y(x)$ через величины,​ о которых говорится в задаче. Разделив эту разность на $\Delta x$ и перейдя к пределу при $\Delta x \rightarrow 0$ , получим дифференциальное уравнение,​ из которого можно найти искомую функцию.
 +
 +----
 +**Пример 1.**
 +Найти кривые,​ сумма длин нормали и поднормали есть величина постоянная,​ равная $\alpha$.
 +
 +''​Решение:''​ Длина поднормали равна $|y\;​\;​{y}'​|$ , а длина нормали $ \left | y \;\; \sqrt{ 1+{y}'​^{2} } \right | $ . Т.о, уравнение,​ которому должны удовлетворять искомые кривые,​ имеет вид:
 +$$
 + \left | {yy}' \right |
 + +
 + \left | y\sqrt{1+{y}'​^{2}} \right |
 + = a
 +$$
 + 
 +Разрешая его относительно ${y}'$ , находим ( учитывая оба возможных знака):​
 +$$
 + ​{y}'​=\pm\frac{a^{2}-y^{2}}{2ay}
 + \;;\;
 + ​\frac{2ydy}{a^{2}-y^{2}}=\pm\frac{dx}{a}
 +$$
 +, интегрируем:​
 +$$
 + \ln{| a^{2}-y^{2} |}=\pm\frac{x}{a}+\ln{C}
 + \,,\,
 + ​y^{2}=a^{2}-Ce^{ \pm\frac{x}{a} }
 +$$
 +
 +Условию задачи отвечают только ''​С>​0''​ : из уравнения семейства кривых находим:​
 +$$
 + ​|{yy}'​|=\frac{a^{2}-y^{2}}{2a}
 + \;;\;
 + ​|y\sqrt{1+{y}'​^{2}}|=\frac{a^{2}+y^{2}}{2a}
 +$$
 +поэтому,​ чтобы выполнялось условие
 +$$
 + ​|{yy}'​|
 + +
 + ​|y\sqrt{1+{y}'​^{2}}|
 + ​=a  ​
 +$$
 +, нужно, чтобы $|a^2–y^2|=a^2–y^2$ , т.е. $y^2<​a^2$,​ отсюда и следует,​ что ''​С>​0''​.
 +
 +----
 +**Пример 2.**
 +В комнате,​ где температура $20^{0}C$ , некоторое тело остыло за 20мин. от $100^{0}C$ до $60^{0}C$. Найти закон охлаждения тела, через сколько минут оно остынет до $30^{0}C$? Повышением температуры в комнате пренебречь.
 +
 +''​Решение:''​ В силу закона Ньютона (// скорость охлаждения пропорциональна разности температур //) можем написать: ​
 +$$
 + ​\frac{\partial T}{\partial t}=k(T-20)
 + \,,\,
 + ​\frac{\partial T}{T-20}=k\partial t
 + \,,\,
 + ​\ln{(T-20)}=kt+\ln{C}
 +$$
 +При $t=0 \,,\, T=100^{0}C$,​ находим ''​C=80''​. При $t=20 \,,\, T=60^{0}$
 +$\ln{40}=20k+\ln{80} \,,\, k=-\frac{1}{20}\ln{2}$;​ итак $T-20 = 80e^{ -\frac{1}{20}t\ln{2} } = 80\left ( \frac{1}{2} \right )^{ \frac{t}{20} }$ , $T=20+80\left( \frac{1}{2} \right)^{ \frac{t}{20} }$, при $T=30^{0}$ ''​t=60''​ мин.
 +
 +----
 +**Пример 3.**
 +Найти уравнение кривой,​ проходящей через точку ''​А(0,​1)''​ , если известно,​ что в каждой точке нормаль к кривой отсекает на оси абсцисс отрезок,​ равный квадрату радиуса-вектора этой точки.
 +
 +{{ :​subjects:​diffury:​уравнение_кривой_через_точку_a.png?​300 | Найти уравнение кривой,​ проходящей через точку А}}
 +
 +Пусть точка ''​М(х,​у)''​ – произвольная точка искомой кривой,​ ''​МВ''​ --  нормаль к кривой в т.''​М'',​ а ''​В''​ – точка пересечения нормали с осью абсцисс. Уравнение нормали к кривой в т.''​М''​ имеет вид:
 +$Y-y=-\frac{1}{{y}'​}(X-x)\;;​\;​ X,Y$ -- текущие координаты нормали.
 +
 +Найдем абсциссу т.''​В''​. Полагая в уравнении нормали ''​Y=0'',​ получаем -- $y=-\frac{1}{{y}'​}(X-x) \;;\; X=x+{yy}'​$
 +
 +Квадрат радиуса- вектора т.''​М''​ равен $x^2+y^2$. По условию задачи
 +$x+{yy}'​=x^{2}+y^{2} \;;\; {y}'​-y=(x^{2}-x)y^{-1}$
 +-- это уравнение Бернулли при $\alpha=-1$ . Подстановкой
 +$y=uv\;;\; {y}'​={u}'​v+{uv}'​$
 +приводится к виду
 +$$
 + ​{u}'​v+{uv}'​-uv=( x^{2}-x )\frac{1}{uv}
 + \,,\,
 + v( {u}'-u )+{uv}'​=( x^{2}-x )\frac{1}{uv}
 + \\
 + ​{u}'​-u=0
 + \,,\,
 + ​u=e^{x}
 + \;;\;
 + ​e^{x}{v}'​=( x^{2}-x )\frac{1}{e^{x}v}
 + \;;\; \\
 + ​v\partial v=( x^{2}-x )e^{-2x}\partial x
 + \,,\,
 + ​v^{2}=-x^{2}e^{-2x}+C
 + \,,\,
 + ​v=\pm\sqrt{ C-x^{2}e^{-2x} }
 + \\
 + ​y=uv=\pm e^{x}\sqrt{ C-x^{2}e^{-2x} }
 + \;;\;
 + ​x^{2}+y^{2}=Ce^{2x}
 +$$
 +
 +Воспользовавшись начальным условием (// кривая проходит через точку ''​А(0,​1)''​ //), найдем значение произвольной постоянной ''​С=1''​. Т.о., уравнение ​
 +$x^{2}+y^{2}=e^{2x}$
 +является уравнением искомой кривой.
 +
 +----
 +<box 60%|⇐ [[start|Полный список тем по ДУ]]>
 +**[[start]]**
 +  * [[Дифференциальные уравнения]]
 +  * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]]
 +  * [[Уравнения с разделяющимися переменными]]
 +  * [[Решение задачи Коши]]
 +  * [[Общее решение дифференциального уравнения]]
 +  * [[Однородные уравнения]]
 +  * [[Уравнения,​ приводящиеся к однородным]]
 +  * [[Линейные уравнения первого порядка]]
 +  * [[Уравнение Бернулли]]
 +  * [[Уравнение в полных дифференциалах]]
 +  * [[Интегрирующий множитель]]
 +  * [[Понижение порядка ду]]
 +  * [[Линейные однородные уравнения 2 порядка]]
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка]]
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]]
 +  * **Геометрические и физические задачи**
 +</​box>​
subjects/diffury/геометрические_и_физические_задачи.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:31 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты