Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:diffury:интегрирующий_множитель

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:diffury:интегрирующий_множитель [2014/12/14 23:29]
subjects:diffury:интегрирующий_множитель [2014/12/15 20:28] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +|[** ⇐ [[start|Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ)]] **]|
  
 +====== Интегрирующий множитель ======
 +В некоторых случаях,​ когда уравнение
 +$$M(x,y)dx +N(x,y)dy =0 \qquad (1)$$
 +не является уравнением в полных дифференциалах,​ удаётся подобрать функцию
 +$\mu (x,y)$
 +, после умножения на которую,​ левая часть (**1**) превращается в полный дифференциал
 +$du=\mu Mdx+\mu Ndx  $
 +
 +Такая функция $\mu(x,y)$ называется интегрирующим множителем из определения интегрирующего множителя
 +$$ \frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N)$$
 +( ''​[[уравнение в полных дифференциалах|см.уравнение в полных дифференциалах (2)]]''​ ) или
 +$ N\frac{\partial\mu}{\partial y}-M\frac{\partial\mu}{\partial y}= \left ( \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} \right ) \mu $
 +
 +$$
 + ​N\frac{\partial\ln{\mu}}{\partial x}
 + -
 + ​M\frac{\partial\ln{\mu}}{\partial y}
 + =
 + ​\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}
 + ​\qquad (2)
 +$$
 +
 +Некоторые частные случаи,​ когда удаётся легко найти интегрирующий множитель.
 +
 +===== Случай 1 =====
 +Если $\mu=\mu(x)$,​ то $\frac{\partial\mu}{\partial y}=0$ и уравнение (**2**) примет вид
 +$$
 + ​\frac{\partial\ln{\mu}}{\partial x}
 + ​=\frac{
 +  \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}
 + }{N}
 + ​\qquad (3)
 +$$
 +Для существования интегрирующего множителя,​ не зависящего от y , необходимо и достаточно,​ чтобы правая часть (**3**) была функцией только от ''​x''​.
 +
 +----
 +==== Примеры ====
 +**Пример 1.** Решить уравнения
 +$ (x+y^{2})dx-xydy=0 $
 +
 +''​Решение.''​
 +$M=x+y^{2} \,,\, N=-2xy$
 +имеем ​
 +$\frac{ \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} }{N} = \frac{2y+2y}{-2xy} = -\frac{2}{x}$
 +, следовательно
 +$\frac{\partial\ln{\mu}}{\partial x} = -\frac{2}{x}$
 +,
 +$\ln{\mu} = -2\ln{|x|}$
 +,
 +$\mu = \frac{1}{x^{2}}$
 +
 +Уравнение
 +$\frac{x+y^{2}}{x^{2}} dx- \frac{2xy}{x^{2}}dy =0$
 +[[уравнение в полных дифференциалах|в полных дифференциалах]].
 +
 +Его можно представить в виде
 +$\frac{dx}{x} - \frac{2xydy - y^{2}dx}{x^{2}} =0$
 +, откуда
 +$d\left ( \ln{|x|} -\frac{y^{2}}{x} \right ) =0$
 +и общий интеграл данного уравнения
 +$x=Ce^{y^{2}}{x}$
 +
 +===== Случай 2 =====
 +Аналогично,​ если
 +$\left ( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right )\frac{1}{M}$
 +есть функция только ''​y'',​ то уравнение (**1**) имеет интегрирующий множитель $\mu=\mu(y)$ , зависящий только от ''​y''​.
 +
 +Интеграл уравнения (**1**)
 +$$ y=\int p(x,​C_{1})dx+C_{2} $$
 +
 +----
 +==== Примеры ====
 +**Пример 2.** Решить уравнение
 +$$
 + ​\frac{d^{2}y}{dx^{2}}
 + = \frac{1}{a}
 + ​\sqrt{ 1+
 +  \left (
 +   ​\frac{dy}{dx}
 +  \right )^{2}
 + }
 +$$
 +
 +''​Решение.''​ Положим $\frac{dy}{dx}=p$ , тогда
 +$$
 + ​\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{dp}{dx}
 + \\
 + ​\frac{dp}{dx}=\frac{1}{a}\sqrt{ 1+p^{2} }
 + \\
 + ​\frac{dp}{ \sqrt{1+p^{2}} } = \frac{1}{a}dx
 + \\
 + \ln{ p+\sqrt{ 1+p^{2} } }=\frac{x}{a}+c
 + \\
 + ​p=sh\left (
 +  \frac{x}{a}+C_{1}
 + ​\right )
 +$$
 +
 +т.к. $p=\frac{dy}{dx}$ , интеграл последнее соотношение,​ получим уравнение цепной линии
 +$$
 + ​y=ach{ \left (
 +  \frac{x}{a} +C_{1}
 + ​\right ) }
 + ​+C_{2}
 +$$
 +
 +Найдём частное решение,​ удовлетворяющее начальным условиям ([[решение задачи коши|решим задачу Коши]])
 +$$
 + ​y|_{x=0}=a \;;\; {y}'​|_{x=0}=0
 + \\
 + ​C_{1}=0 \;;\; C_{2}=0 \;;\; y=ach{ \frac{x}{a} }
 +$$
 +
 +===== Примеры =====
 +**Пример 3**
 +
 +$$
 + ​P(x,​y)\;​dx+Q(x,​y)\;​dy=0
 + \\
 + ​y\cdot dx-(x+x^{2}y)dy=0
 +$$
 +
 +{{ youtube>​HBk9ZWeoIMU |ДУ. Интегрирующий множитель. Пример полного решения }}
 +
 +----
 +<box 60%|⇐ [[start|Полный список тем по ДУ]]>
 +**[[start]]**
 +  * [[Дифференциальные уравнения]]
 +  * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]]
 +  * [[Уравнения с разделяющимися переменными]]
 +  * [[Решение задачи Коши]]
 +  * [[Общее решение дифференциального уравнения]]
 +  * [[Однородные уравнения]]
 +  * [[Уравнения,​ приводящиеся к однородным]]
 +  * [[Линейные уравнения первого порядка]]
 +  * [[Уравнение Бернулли]]
 +  * [[Уравнение в полных дифференциалах]]
 +  * **Интегрирующий множитель**
 +  * [[Понижение порядка ду]]
 +  * [[Линейные однородные уравнения 2 порядка]]
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка]]
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]]
 +  * [[Геометрические и физические задачи]]
 +</​box>​
subjects/diffury/интегрирующий_множитель.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:28 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты