Инструменты пользователя
subjects:diffury:линейные_однородные_уравнения_2_порядка
Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Следующая версия | Предыдущая версия | ||
|
subjects:diffury:линейные_однородные_уравнения_2_порядка [2014/12/11 15:13] ¶ создано |
subjects:diffury:линейные_однородные_уравнения_2_порядка [2014/12/15 20:30] (текущий) ¶ |
||
|---|---|---|---|
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| - | <box 60%|[[start]]> | + | |[** ⇐ [[start|Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ)]] **]| |
| - | * **[[]]** | + | |
| - | </box> | + | |
| ====== Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ====== | ====== Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ====== | ||
| Строка 10: | Строка 8: | ||
| $$ k^{2}+pk+q=0 \qquad (2) $$ | $$ k^{2}+pk+q=0 \qquad (2) $$ | ||
| - | характеристическое уравнение, его корни | + | характеристическое уравнение. Это [[subjects:mathematics:квадратные_уравнения|квадратное уравнение]] -- решаем его относительно **k** , его корни: |
| $$ | $$ | ||
| - | k_{1}=-\frac{1}{2}+ | + | k_{1}=-\frac{p}{2}+\sqrt{ \frac{p^{2}}{4}-q } |
| - | \sqrt{ \frac{p^{2}}{4}-q } | + | |
| \\ | \\ | ||
| - | k_{2}=-\frac{1}{2}- | + | k_{2}=-\frac{p}{2}-\sqrt{ \frac{p^{2}}{4}-q } |
| - | \sqrt{ \frac{p^{2}}{4}-q } | + | |
| $$ | $$ | ||
| При этом возможны следующие случаи: | При этом возможны следующие случаи: | ||
| - $k_{1}$ и $k_{2}$ — действительные и притом не равные между собой числа ($k_{1} \neq k_{2}$). Тогда общее решение имеет вид $$ y=C_{1}e^{k_{1}x}+C_{2}e^{k_{2}x} \qquad (3) $$ | - $k_{1}$ и $k_{2}$ — действительные и притом не равные между собой числа ($k_{1} \neq k_{2}$). Тогда общее решение имеет вид $$ y=C_{1}e^{k_{1}x}+C_{2}e^{k_{2}x} \qquad (3) $$ | ||
| - | - $k_{1}$ и $k_{2}$ — комплексные числа$$ k_{1}=\alpha+i\beta \;;\; k_{2}=\alpha-i\beta $$ где , $$ \alpha=1\frac{p}{2} \beta=\sqrt{ \frac{p^{2}}{4}-q } $$ Общее решение имеет вид $$ y=C_{1}e^{dx} \;\; \cos{\beta x}+C_{2}e^{dx} \;\; \sin{\beta x} \qquad (4) $$ | + | - $k_{1}$ и $k_{2}$ — комплексные числа$$ k_{1}=\alpha+i\beta \;;\; k_{2}=\alpha-i\beta $$ где , $$ \alpha=-\frac{p}{2} \;;\; \beta=\sqrt{ \frac{p^{2}}{4}-q } $$ Общее решение имеет вид $$ y=C_{1}e^{dx} \cdot\cos{\beta x}+C_{2}e^{dx} \cdot\sin{\beta x} \qquad (4) $$ |
| - | - $k_{1}$ и $k_{2}$ — действительные равные числа ($k_{1} = k_{2}$). Общее решение имеет вид $$ y=C_{1}e^{k_{1}x}+C_{2}e^{k_{1}x} \qquad (5) $$ | + | - $k_{1}$ и $k_{2}$ — действительные равные числа ($k_{1} = k_{2}$). Общее решение имеет вид $$ y=C_{1}\cdot e^{k_{1}x}+C_{2}\cdot xe^{k_{1}x} \qquad (5) $$ |
| + | |||
| + | ===== Примеры ===== | ||
| + | **Пример 1.** | ||
| + | $${y}''+{2y}'-y=0$$ | ||
| + | ''Решение:'' | ||
| + | {{ youtube>9s2BDy7J-XA |Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение }} | ||
| ---- | ---- | ||
| - | **Пример 1.** Решить уравнение | + | **Пример 2.** |
| + | |||
| + | Решить уравнение. [[общее решение дифференциального уравнения|Найти общее решение дифференциального уравнения]] | ||
| $$ {3y}''-{2y}'-8y=0 $$ | $$ {3y}''-{2y}'-8y=0 $$ | ||
| Строка 50: | Строка 54: | ||
| ---- | ---- | ||
| - | **Пример 2.** Решить уравнение | + | **Пример 3.** |
| + | $${y}''+{6y}'+9y=0$$ | ||
| + | ''Решение:'' | ||
| + | {{ youtube>CcFlEzxCFhk |Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-ого порядка с постоянными коэффициентами }} | ||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | **Пример 4.** | ||
| + | |||
| + | Решить уравнение. [[общее решение дифференциального уравнения|Найти общее решение дифференциального уравнения]] | ||
| $$ {4y}''-{8y}'-5y=0 $$ | $$ {4y}''-{8y}'-5y=0 $$ | ||
| Строка 69: | Строка 81: | ||
| $$ | $$ | ||
| + | ---- | ||
| + | **Пример 5.** | ||
| + | $${y}''+{4y}'+13y=0$$ | ||
| + | ''Решение:'' | ||
| + | {{ youtube>D0Sxu-aa7Dc |Решение линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка с пост.коэфф. }} | ||
| ---- | ---- | ||
| - | <box 60%>[[start]]</box> | + | |
| + | <box 60%|⇐ [[start|Полный список тем по ДУ]]> | ||
| + | **[[start]]** | ||
| + | * [[Дифференциальные уравнения]] | ||
| + | * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]] | ||
| + | * [[Уравнения с разделяющимися переменными]] | ||
| + | * [[Решение задачи Коши]] | ||
| + | * [[Общее решение дифференциального уравнения]] | ||
| + | * [[Однородные уравнения]] | ||
| + | * [[Уравнения, приводящиеся к однородным]] | ||
| + | * [[Линейные уравнения первого порядка]] | ||
| + | * [[Уравнение Бернулли]] | ||
| + | * [[Уравнение в полных дифференциалах]] | ||
| + | * [[Интегрирующий множитель]] | ||
| + | * [[Понижение порядка ду]] | ||
| + | * **Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами** | ||
| + | * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка]] | ||
| + | * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]] | ||
| + | * [[Геометрические и физические задачи]] | ||
| + | </box> | ||
subjects/diffury/линейные_однородные_уравнения_2_порядка.1418300035.txt.gz · Последние изменения: 2014/12/11 15:13 — ¶
Инструменты страницы
Записаться на занятия
Записаться на занятия к репетитору
