Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:diffury:линейные_однородные_уравнения_2_порядка

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:diffury:линейные_однородные_уравнения_2_порядка [2014/12/14 23:27]
subjects:diffury:линейные_однородные_уравнения_2_порядка [2014/12/15 20:30] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +|[** ⇐ [[start|Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ)]] **]|
  
 +====== Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ======
 +Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-ого порядка
 +$$ {y}''​+{py}'​+qy=0 \qquad (1) $$
 +
 +''​p,​ q''​ — постоянные действительные числа
 +$$ k^{2}+pk+q=0 \qquad (2) $$
 +
 +характеристическое уравнение. Это [[subjects:​mathematics:​квадратные_уравнения|квадратное уравнение]] -- решаем его относительно **k** , его корни:
 +$$
 + ​k_{1}=-\frac{p}{2}+\sqrt{ \frac{p^{2}}{4}-q }
 + \\
 + ​k_{2}=-\frac{p}{2}-\sqrt{ \frac{p^{2}}{4}-q }
 +$$
 +
 +При этом возможны следующие случаи:​
 +  - $k_{1}$ и $k_{2}$ — действительные и притом не равные между собой числа ($k_{1} \neq k_{2}$). Тогда общее решение имеет вид $$ y=C_{1}e^{k_{1}x}+C_{2}e^{k_{2}x} \qquad (3) $$
 +  - $k_{1}$ и $k_{2}$ — комплексные числа$$ k_{1}=\alpha+i\beta \;;\; k_{2}=\alpha-i\beta $$ где , $$ \alpha=-\frac{p}{2} \;;\; \beta=\sqrt{ \frac{p^{2}}{4}-q } $$ Общее решение имеет вид $$ y=C_{1}e^{dx} \cdot\cos{\beta x}+C_{2}e^{dx} \cdot\sin{\beta x} \qquad (4) $$
 +  - $k_{1}$ и $k_{2}$ — действительные равные числа ($k_{1} = k_{2}$). Общее решение имеет вид $$ y=C_{1}\cdot e^{k_{1}x}+C_{2}\cdot xe^{k_{1}x} \qquad (5) $$
 +
 +===== Примеры =====
 +**Пример 1.**
 +$${y}''​+{2y}'​-y=0$$
 +''​Решение:''​
 +{{ youtube>​9s2BDy7J-XA |Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение }}
 +
 +----
 +**Пример 2.**
 +
 +Решить уравнение. [[общее решение дифференциального уравнения|Найти общее решение дифференциального уравнения]]
 +$$ {3y}''​-{2y}'​-8y=0 $$
 +
 +''​Решение.''​ Характеристическое уравнение
 +$$
 + ​3k^{2}-2k-8=0
 + \\
 + ​k_{1,​2}=\frac{2\pm 10}{6}
 + \;;\;
 + ​k_{1}=2
 + \;;\;
 + ​k_{2}=-\frac{4}{3}
 +$$
 +Общее решение ​
 +$$
 + ​C_{1}e^{ k_{1}x }
 + +
 + ​C_{2}e^{ k_{2}x }
 + =
 + ​C_{1}e^{ 2x }
 + +
 + ​C_{2}e^{ \frac{4}{3} }
 +$$
 +
 +----
 +**Пример 3.**
 +$${y}''​+{6y}'​+9y=0$$
 +''​Решение:''​
 +{{ youtube>​CcFlEzxCFhk |Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-ого порядка с постоянными коэффициентами }}
 +
 +----
 +**Пример 4.**
 +
 +Решить уравнение. [[общее решение дифференциального уравнения|Найти общее решение дифференциального уравнения]]
 +$$ {4y}''​-{8y}'​-5y=0 $$
 +
 +''​Решение''​
 +$$
 + ​4k^{2}-8k-5y=0
 + \\
 + ​k_{1,​2}=\frac{
 +  8\pm\sqrt{64-80}
 + }{8}
 + ​=\frac{8\pm 4i}{8}
 + ​=1\pm\frac{i}{2}
 + \;;\;
 + ​\alpha=1 \;;\; \beta=\frac{1}{2}
 + \\
 + ​y=C_{1}e^{x}\cos{ \frac{x}{2} }
 + ​+C_{2}e^{x}\sin{ \frac{x}{2} }
 +$$
 +
 +----
 +**Пример 5.**
 +$${y}''​+{4y}'​+13y=0$$
 +''​Решение:''​
 +{{ youtube>​D0Sxu-aa7Dc |Решение линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка с пост.коэфф. }}
 +
 +----
 +
 +<box 60%|⇐ [[start|Полный список тем по ДУ]]>
 +**[[start]]**
 +  * [[Дифференциальные уравнения]]
 +  * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]]
 +  * [[Уравнения с разделяющимися переменными]]
 +  * [[Решение задачи Коши]]
 +  * [[Общее решение дифференциального уравнения]]
 +  * [[Однородные уравнения]]
 +  * [[Уравнения,​ приводящиеся к однородным]]
 +  * [[Линейные уравнения первого порядка]]
 +  * [[Уравнение Бернулли]]
 +  * [[Уравнение в полных дифференциалах]]
 +  * [[Интегрирующий множитель]]
 +  * [[Понижение порядка ду]]
 +  * **Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами**
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка]]
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]]
 +  * [[Геометрические и физические задачи]]
 +</​box>​
subjects/diffury/линейные_однородные_уравнения_2_порядка.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:30 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты