Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:diffury:линейные_уравнения_первого_порядка

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:diffury:линейные_уравнения_первого_порядка [2014/12/14 23:31]
subjects:diffury:линейные_уравнения_первого_порядка [2014/12/15 20:27] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +|[** ⇐ [[start|Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ)]] **]|
  
 +====== Линейные дифференциальные уравнения первого порядка ======
 +Линейным дифференциальным уравнением 1-ого порядка называется уравнение,​ линейное [[дифференциальные уравнения первого порядка|относительно неизвестной функции и её производной]]
 +$$ \frac{dy}{dx} +p(x)y =Q(x) \qquad (1)$$
 +
 +Решение линейного уравнения ищем в виде $y=u(x)v(x)$
 +
 +Подставляя в (**1**), после преобразования получаем
 +$$
 + u \left (
 +  \frac{dv}{dx} + p(x)v
 + ​\right )
 + ​+V\frac{du}{dx}
 + =Q(x)
 +$$ 
 +
 +Выберем ''​v''​ такой чтобы $\frac{dv}{dx} + p(x)v =0$ найдём ''​u(x)''​ , и следовательно получим решение $y=uv$
 +
 +----
 +**Пример 1**
 +
 +Решить дифференциальное уравнение:​
 +${xy}'​-2y=4x^{4}-x$
 +
 +''​Решение дифференциального уравнения:''​
 +{{ youtube>​0XRUbnKznOI |Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Пример решения }}
 +
 +----
 +**Пример 2.** [[Решение задачи Коши|Решить задачу Коши]]
 +$$
 + ​{y}'​-y=-e^{-x}
 + \,,\,
 + ​y|_{x=0}=2
 +$$
 +
 +''​Решение.''​ Это линейное уравнение. Ищем общее решение в виде $y=u(x)v(x)$ , имеем ${y}'​={u}'​v+u{v}'​$ . Подставляя выражения для ''​y''​ и ${y}'$ в данное уравнение,​ будем иметь
 +$$
 + ​u({v}'​-v)+{u}'​v=-e^{-x}
 + \\
 + u \left (
 +  \frac{dv}{dx} -v
 + ​\right )
 + ​+\frac{du}{dx}v
 + ​=e^{-x}
 + \\
 + ​\frac{dv}{dx}-v=0
 + \;;\;
 + ​\frac{dv}{v}=dx
 + \;;\;
 + ​\ln{|v|}=x
 + \;;\;
 + ​v=e^{x}
 +$$
 +
 +Для определения ''​u''​ имеем уравнение
 +$$
 + ​{u}'​v=-e^{-x}
 + \\
 + ​\frac{du}{dx}e^{x}=-e^{-x}
 + \;;\;
 + ​\frac{du}{dx}=-e^{-2x}
 + \;;\;
 + ​u=\frac{ e^{-2x} }{2} +c
 + \\
 + ​y=uv=e^{x} \left(
 +  \frac{ e^{-2x} }{2} +c
 + ​\right )
 + ​=\frac{ e^{-x} }{2} +Ce^{x}
 +$$
 +
 +Найдём ''​C'':​ $2=\frac{1}{2}+c \,,\, c=\frac{3}{2}$;​
 +
 +Итак, **[[Решение задачи Коши|решением поставленной задачи Коши]]** будет
 +$$
 + ​y=\frac{1}{2} \left (
 +  \frac{1}{e^{x}} +3e^{x}
 + ​\right )
 +$$
 +
 +----
 +<box 60%|⇐ [[start|Полный список тем по ДУ]]>
 +**[[start]]**
 +  * [[Дифференциальные уравнения]]
 +  * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]]
 +  * [[Уравнения с разделяющимися переменными]]
 +  * [[Решение задачи Коши]]
 +  * [[Общее решение дифференциального уравнения]]
 +  * [[Однородные уравнения]]
 +  * [[Уравнения,​ приводящиеся к однородным]]
 +  * **Линейные дифференциальные уравнения первого порядка**
 +  * [[Уравнение Бернулли]]
 +  * [[Уравнение в полных дифференциалах]]
 +  * [[Интегрирующий множитель]]
 +  * [[Понижение порядка ду]]
 +  * [[Линейные однородные уравнения 2 порядка]]
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка]]
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]]
 +  * [[Геометрические и физические задачи]]
 +</​box>​
subjects/diffury/линейные_уравнения_первого_порядка.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:27 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты