Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:diffury:неоднородные_линейные_уравнения_2_порядка

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:diffury:неоднородные_линейные_уравнения_2_порядка [2014/12/14 23:26]
subjects:diffury:неоднородные_линейные_уравнения_2_порядка [2014/12/15 20:30] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +|[** ⇐ [[start|Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ)]] **]|
  
 +====== Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ======
 +Неоднородные линейные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами - это уравнение вида
 +$$ {y}''​-{py}'​-qy=f{x} \qquad (1)$$
 +===== Таблица видов частных решений =====
 +Сводная таблица видов частных решений для различных видов правых частей.
 +^№^Правая часть дифференциальных уравнений^Корни характеристического уравнения^Виды частного решения^
 +^ 1 |$$ P_{m}(x) $$|1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения.|$$ \widetilde{P}_{m}(x) $$|
 +^:::| ::: |2. Число 0 -- корень характеристического уравнения кратности ''​S''​.|$$ x^{S}\widetilde{P}_{m}(x) $$|
 +^ 2 |$$ P_{m}(x)e^{\alpha x} $$|1. Число $\alpha$ не является корнем характеристического уравнения.|$$ \widetilde{P}_{m}(x)e^{\alpha x} $$|
 +^:::| ::: |2. Число $\alpha$ является корнем характеристического уравнения кратности ''​S''​.|$$ x^{S}\widetilde{P}_{m}(x)e^{\alpha x} $$|
 +^ 3 |$$ P_{n}(x)\cos{\beta x} + Q_{m}\sin{\beta x} $$|1. Число $\pm i\beta$ не является корнем характеристического уравнения.|$$ \widetilde{P}_{m}(x)\cos{\beta x} + \widetilde{Q}_{m}(x)\sin{\beta x} $$|
 +^:::| ::: |2. Число $\pm i\beta$ является корнем характеристического уравнения кратности ''​S''​.|$$ x^{S}( \widetilde{P}_{m}(x)\cos{\beta x} + \widetilde{Q}_{m}(x)\sin{\beta x} ) $$|
 +^ 4 |$$ e^{\alpha x}[ P_{n}(x)\cos{\beta x}] + Q_{m}(x)\sin{\beta x} ] $$|1. Число $\alpha\pm i\beta$ не является корнем характеристического уравнения.|$$ e^{\alpha x}[ \widetilde{P}_{m}(x)\cos{\beta x} + \widetilde{Q}_{m}(x)\sin{\beta x} ] $$|
 +^:::| :::  |2. Число $\alpha\pm i\beta$ является корнем характеристического уравнения кратности ''​S''​.|$$ e^{\alpha x}[ \widetilde{P}_{m}(x)\cos{\beta x} + \widetilde{Q}_{m}(x)\sin{\beta x} ]x^{S} $$|
 +| $ \widetilde{P}_{m}\text{ и }\widetilde{Q}_{m} $ -- многочлены старшей степени ''​m''​ (т.е. ''​m>​n''​) |||||
 +
 +==== Примеры ====
 +**Пример 1.**
 +$$
 +\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\frac{dy}{dx}-2y=3x-1$$
 +''​Решение:''​
 +{{ youtube>​VelwBHptUoI |Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами }}
 +
 +----
 +**Пример 2.**
 +
 +Решить уравнение
 +$$ {Y}''​+{y}'​=4x^{2}e^{x} $$
 +
 +''​Решение.''​ Характеристическое уравнение
 +$$
 + ​k^{2}+k=0
 + \\
 + ​k(k+1)=0
 + \;;\;
 + ​k_{1}=0
 + \;;\;
 + ​k_{2}=-1
 +$$
 +
 +Общее решение однородных уравнений имеет вид: $y=C_{1}+C_{2}e^{-x}$
 +
 +Правая часть уравнения $ f(x)=4x^{2}e^{x} \,,\, \alpha=1 $ , т.к. $\alpha=1$ не является корнем характеристического уравнения,​ то частное решение неоднородного уравнения имеет вид (''​см. табл. Случай 2/​1''​)
 +$$ \overline{y}=( A_{1}x^{2}+A_{2}x+A_{3} )e^{x} $$
 +
 +Подставляя его в исходное уравнение и сокращая обе части уравнения на $e^{x}$ , будем иметь
 +$$ 2A_{1}x^{2} + (6A_{1}+2A_{2})x + 2A_{1} + 3A_{2} + 2A_{3} = 4x^{2} $$
 +
 +Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства,​ получаем линейную систему уравнений для нахождения коэффициентов $A_{1} \,,\, A_{2} \text{ и } A_{3}$:
 +$$
 + ​\left\{\begin{matrix}
 +  2A_{1}=4 &;& A_{1}=2
 +  \\
 +  6A_{1}+2A_{2}=0 &;& A_{2}=-6
 +  \\
 +  2A_{1}+3A_{2}+2A_{3}=0 &;& A_{3}=7
 + ​\end{matrix}\right.
 +$$
 +$$ \overline{y}=( 2x^{2}-6x+7 )e^{x} $$
 +
 +Общее решение данного уравнения
 +$$ y(x)=C_{1}+C_{2}e^{-x}+( 2x^{2}-6x+7 )e^{x} $$
 +
 +----
 +**Пример 3.**
 +
 +Найти общее решение уравнения
 +$$ {y}''​+{10y}'​+25y=4e^{-5x} $$
 +
 +''​Решение:''​ характеристическое уравнение $k^{2}+10k+25=0$ имеет двукратный корень $k_{1}=k_{2}=-5$,​ поэтому $y=( C_{1}+C_{2}x )e^{-5x}$ .
 +Т.к. $к=-5$ является корнем характеристического уравнения кратности $S=2$, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде (''​ см. табл., случай 2(2) ''​):​
 +$$
 + ​\overline{y}=Ax^{2}e^{-5x}
 + \;;\;
 + ​{\overline{y}}'​=A( 2x-5x^{2} )e^{-5x}
 + \;;\;
 +  {\overline{y}}''​=A( 2-20x+25x^{2} )e^{-5x}
 +$$
 +
 +Подставляя выражения для $ y \,,\, {y}' \,,\, {y}''​ $ в исходное уравнение,​ получаем
 +$ 2Ae^{-5x}=4e^{-5x} \,,\, A=2 \,,\, y=2x^{2}e^{-5x} $
 +. Общее решение данного уравнения
 +$$ y=( C_{1}+C_{2}x )e^{-5x} + 2x^{2}e^{-5x} $$
 +
 +----
 +**Пример 4**
 +
 +Найти частное решение уравнения ([[решение задачи коши|решить задачу Коши]])
 +$$ {y}''​+{y}'​-2y=\cos{x}-3\sin{x} $$
 +Начальные условия:​ $ y(0)=1 \;;\; {y}'​(0)=2 \;; $
 +
 +''​Решение:''​
 +
 +Характеристическое уравнение:​ $ k^{2}+k-2=0 $;
 +
 +Корни характеристического уравнения:​ $ k_{1}=1 \;;\; k_{2}=-2 $;
 +
 +Общее решение однородного уравнения:​ $ y=C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{x} $
 +
 +Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде (''​см.таблицу''​):​
 +$$
 + ​\overline{y}=A\cos{x} + B\sin{x}
 + \;;\; \\
 + ​\overline{{y}'​}=-A\sin{x}+B\cos{x}
 + \;;\; \\
 + ​{\overline{y}}''​=-A\cos{x}-B\sin{x}
 +$$
 +
 +Подставляя выражения для $ y \,,\, {y}' \,,\, {y}''​ $ в исходное уравнение,​ получаем:​
 +$(B-3A)\cos{x}+(-3B-A)\sin{x}=\cos{x}–3\sin{x}$
 +$$
 + ​\left\{\begin{matrix}
 +  B-3A=1
 + \\
 +  &​\Rightarrow &A=0 &, &B=1 &;
 + ​\\ ​
 +  -(3B+A)=-3
 + ​\end{matrix}\right.
 +$$
 +Тогда общее решение заданного уравнения будет иметь вид:
 +$$ y=C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{x}+\sin{x} $$
 +
 +Найдем $С_1$ и $С_2$ , используя начальные условия ( $ y(0)=1 \;;\; {y}'​(0)=2 $ ):
 +$$
 + ​\left\{\begin{matrix}
 +  C_{1}e^{0}-C_{2}e^{0}+\sin{0}=1
 + ​\\ ​
 +  2C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0}+\cos{0}=2
 + ​\end{matrix}\right.
 + \\
 + ​\left\{
 + ​\begin{matrix}
 +  C_{1}+C_{2}=1
 + \\
 +  -2C_{1}+c_{2}=1
 + ​\end{matrix}\right.
 + \\
 + ​C_{1}=0 \;;\; C_{2}=1 \;;\; 
 +$$
 +Задача Коши решена:​ $y=e^{x}+\sin{x}$
 +
 +----
 +**Пример 5.**
 +
 +Решить уравнение:​
 +$$ {y}'''​+{y}''​-{2y}'​=x-e^{x} $$
 +
 +''​Решение:''​
 +$$
 + ​k^{3}+k^{2}-2k=0
 + \;;\;
 + ​k_{1}=0
 + \;;\;
 + ​k_{2}=1
 + \;;\;
 + ​k_{3}=-2
 + \;;\;
 + ​y=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{-2x}
 +$$
 +
 +т.к. $k_{1}=0$ -- простой корень характеристического уравнения,​ т.е. ''​S_{1}=1''​ , то частное решение ищем в виде: ​
 +$$
 + ​\overline{y}=x(Ax+B)+Cxe^{x}
 + \;;\; \\
 + ​{\overline{y}}'​=2Ax+B+Ce^{x}+Cxe^{x}
 + \;;\; \\
 + ​{\overline{y}}''​=2A+2Ce^{x}+Cxe^{x}
 + \;;\; \\
 + ​{\overline{y}}'''​= 3Ce^{x}+Cxe^{x}
 + \\ \\
 + ​-4Ax+( 2A-3B )+3Ce^{x}=x-e^{x}
 + \;;\;
 + ​A=-\frac{1}{4}
 + \;;\;
 + ​B=-\frac{1}{4}
 + \;;\;
 + ​C=-\frac{1}{3}
 +$$
 +Ответ:
 +$$ y=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{-2x}-\frac{1}{4}x( x+1 )-\frac{1}{3}xe^{x} $$
 +
 +----
 +<box 60%|⇐ [[start|Полный список тем по ДУ]]>
 +**[[start]]**
 +  * [[Дифференциальные уравнения]]
 +  * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]]
 +  * [[Уравнения с разделяющимися переменными]]
 +  * [[Решение задачи Коши]]
 +  * [[Общее решение дифференциального уравнения]]
 +  * [[Однородные уравнения]]
 +  * [[Уравнения,​ приводящиеся к однородным]]
 +  * [[Линейные уравнения первого порядка]]
 +  * [[Уравнение Бернулли]]
 +  * [[Уравнение в полных дифференциалах]]
 +  * [[Интегрирующий множитель]]
 +  * [[Понижение порядка ду]]
 +  * [[Линейные однородные уравнения 2 порядка]]
 +  * **Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами**
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]]
 +  * [[Геометрические и физические задачи]]
 +</​box>​
subjects/diffury/неоднородные_линейные_уравнения_2_порядка.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:30 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты