Инструменты пользователя
subjects:diffury:однородные_уравнения
Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Следующая версия | Предыдущая версия | ||
|
subjects:diffury:однородные_уравнения [2014/12/10 22:20] ¶ создано |
subjects:diffury:однородные_уравнения [2014/12/15 20:26] (текущий) ¶ |
||
|---|---|---|---|
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| - | <box right 30%|[[start]]> | + | |[** ⇐ [[start|Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ)]] **]| |
| - | * **[[]]** | + | |
| - | </box> | + | ====== Однородные дифференциальные уравнения ====== |
| - | ====== Однородные уравнения ====== | + | |
| Функция ''f(x,y)'' называется однородной функцией своих аргументов измерения ''n'', если справедливо тождество | Функция ''f(x,y)'' называется однородной функцией своих аргументов измерения ''n'', если справедливо тождество | ||
| $$ f(tx,ty)=t^{n}f(x,y) $$ | $$ f(tx,ty)=t^{n}f(x,y) $$ | ||
| Строка 8: | Строка 7: | ||
| При ''n=0'' имеем функцию нулевого измерения. | При ''n=0'' имеем функцию нулевого измерения. | ||
| - | Дифференциальное уравнение вида $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ называется однородным относительно ''x'' и ''y'', если ''f(x,y)'' есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. | + | Дифференциальное уравнение вида ${y}'=\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ называется однородным относительно ''x'' и ''y'', если ''f(x,y)'' есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. |
| Однородное уравнение всегда можно представить в виде $\frac{dy}{dx}=\varphi\left (\frac{y}{x} \right )$ | Однородное уравнение всегда можно представить в виде $\frac{dy}{dx}=\varphi\left (\frac{y}{x} \right )$ | ||
| - | Вводя новую искомую функцию $u=\frac{y}{x}$ , имеем уравнение с разделяющимися переменными | + | Вводим новую переменную $u=\frac{y}{x}$ , тогда $y=u\cdot x \;;\; \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}\cdot x+u\cdot 1$ |
| + | |||
| + | В результате, получаем уравнение с разделяющимися переменными | ||
| $$ x\frac{du}{dx} = \varphi(u)-u $$ | $$ x\frac{du}{dx} = \varphi(u)-u $$ | ||
| ---- | ---- | ||
| - | **Пример 1.** Решить уравнение | + | **Пример 1** |
| + | |||
| + | Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]: | ||
| + | ${xy}'=x+2y$ | ||
| + | |||
| + | ''Решение дифференциального уравнения:'' | ||
| + | |||
| + | {{ youtube>YhVBJQQyAZg |Однородные дифференциальные уравнения. Пример решения }} | ||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | **Пример 2.** Решить уравнение ([[общее решение дифференциального уравнения|найти общее решение дифференциального уравнения]]) | ||
| $$ {xy}' = \sqrt{x^{2} - y^{2}} + y $$ | $$ {xy}' = \sqrt{x^{2} - y^{2}} + y $$ | ||
| Строка 46: | Строка 57: | ||
| ---- | ---- | ||
| - | <box center 60%>[[start]]</box> | + | **Пример 3** |
| + | $$(x^{2}+2xy)\;dx+xy\;dy=0$$ | ||
| + | |||
| + | ''Решение:'' | ||
| + | |||
| + | {{ youtube>3xO9qQ-5I7A?7 |Однородные дифференциальные уравнения }} | ||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | <box 60%|⇐ [[start|Полный список тем по ДУ]]> | ||
| + | **[[start]]** | ||
| + | * [[Дифференциальные уравнения]] | ||
| + | * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]] | ||
| + | * [[Уравнения с разделяющимися переменными]] | ||
| + | * [[Решение задачи Коши]] | ||
| + | * [[Общее решение дифференциального уравнения]] | ||
| + | * **Однородные дифференциальные уравнения** | ||
| + | * [[Уравнения, приводящиеся к однородным]] | ||
| + | * [[Линейные уравнения первого порядка]] | ||
| + | * [[Уравнение Бернулли]] | ||
| + | * [[Уравнение в полных дифференциалах]] | ||
| + | * [[Интегрирующий множитель]] | ||
| + | * [[Понижение порядка ду]] | ||
| + | * [[Линейные однородные уравнения 2 порядка]] | ||
| + | * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка]] | ||
| + | * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]] | ||
| + | * [[Геометрические и физические задачи]] | ||
| + | </box> | ||
subjects/diffury/однородные_уравнения.1418239204.txt.gz · Последние изменения: 2014/12/10 22:20 — ¶
Инструменты страницы
Записаться на занятия
Записаться на занятия к репетитору
