Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:diffury:однородные_уравнения

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:diffury:однородные_уравнения [2014/12/14 23:32]
subjects:diffury:однородные_уравнения [2014/12/15 20:26] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +|[** ⇐ [[start|Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ)]] **]|
  
 +====== Однородные дифференциальные уравнения ======
 +Функция ''​f(x,​y)''​ называется однородной функцией своих аргументов измерения ''​n'',​ если справедливо тождество
 +$$ f(tx,​ty)=t^{n}f(x,​y) $$
 +
 +При ''​n=0''​ имеем функцию нулевого измерения.
 +
 +Дифференциальное уравнение вида ${y}'​=\frac{dy}{dx}=f(x,​y)$ называется однородным относительно ''​x''​ и ''​y'',​ если ''​f(x,​y)''​ есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения.
 +
 +Однородное уравнение всегда можно представить в виде $\frac{dy}{dx}=\varphi\left (\frac{y}{x} \right )$
 +
 +Вводим новую переменную $u=\frac{y}{x}$ , тогда $y=u\cdot x \;;\; \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}\cdot x+u\cdot 1$
 +
 +В результате,​ получаем уравнение с разделяющимися переменными ​
 +$$ x\frac{du}{dx} = \varphi(u)-u $$
 +
 +----
 +**Пример 1**
 +
 +Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]:​
 +${xy}'​=x+2y$
 +
 +''​Решение дифференциального уравнения:''​
 +
 +{{ youtube>​YhVBJQQyAZg |Однородные дифференциальные уравнения. Пример решения }}
 +
 +----
 +**Пример 2.** Решить уравнение ([[общее решение дифференциального уравнения|найти общее решение дифференциального уравнения]])
 +$$ {xy}' = \sqrt{x^{2} - y^{2}} + y $$
 +
 +''​Решение.''​ Запишем уравнение в виде
 +$$ {y}' = \sqrt{ 1 - \left ( \frac{y}{x} \right )^{2} } + \frac{y}{x} $$
 +
 +так что данное уравнение оказывается однородным относительно ''​x''​ и ''​y''​.
 +
 +Положим $u=\frac{y}{x}$ или $y=u\cdot x$ , тогда ${y}' = {xu}' +u$ . Подставляя в уравнение выражение для $y$ и ${y}'$ , получаем
 +$$ x\frac{du}{dx} = \sqrt{1-u^{2}} $$
 +
 +Разделяем переменные:​
 +$$
 + ​\frac{du}{ \sqrt{1-u^{2}} }
 + =
 + ​\frac{dx}{x}
 + ;\;\;
 + \int \frac{du}{ \sqrt{1-u^{2}} }
 + =
 + \int \frac{dx}{x}
 + \\
 + ​\arcsin{u} = \ln{|x|} + \ln{C_1}
 + ;\;\;
 + ​\arcsin{u} = \ln{C_{1}|x|}
 +$$
 + 
 +, т.к. $C_{1}|x| = \pm C_{1}x$ , то, обозначая $\pm C_{1} = C$ , получаем $\arcsin{u} = \ln{Cx}$
 +Заменяя $u$ на $\frac{y}{x}$ , будем иметь общий интеграл $\arcsin{\frac{y}{x}} = \ln{Cx} ,\;\; y = x\sin{\ln{Cx}}$
 +
 +----
 +**Пример 3**
 +$$(x^{2}+2xy)\;​dx+xy\;​dy=0$$
 +
 +''​Решение:''​
 +
 +{{ youtube>​3xO9qQ-5I7A?​7 |Однородные дифференциальные уравнения }}
 +
 +----
 +<box 60%|⇐ [[start|Полный список тем по ДУ]]>
 +**[[start]]**
 +  * [[Дифференциальные уравнения]]
 +  * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]]
 +  * [[Уравнения с разделяющимися переменными]]
 +  * [[Решение задачи Коши]]
 +  * [[Общее решение дифференциального уравнения]]
 +  * **Однородные дифференциальные уравнения**
 +  * [[Уравнения,​ приводящиеся к однородным]]
 +  * [[Линейные уравнения первого порядка]]
 +  * [[Уравнение Бернулли]]
 +  * [[Уравнение в полных дифференциалах]]
 +  * [[Интегрирующий множитель]]
 +  * [[Понижение порядка ду]]
 +  * [[Линейные однородные уравнения 2 порядка]]
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка]]
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]]
 +  * [[Геометрические и физические задачи]]
 +</​box>​
subjects/diffury/однородные_уравнения.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:26 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты