Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:diffury:понижение_порядка_ду

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:diffury:понижение_порядка_ду [2014/12/14 23:28]
subjects:diffury:понижение_порядка_ду [2014/12/15 20:29] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +|[** ⇐ [[start|Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ)]] **]|
  
 +====== Понижение порядка дифференциального уравнения ======
 +Аналогично [[Интегрирующий множитель|интегрирующему множителю]] -- [[дифференциальные уравнения|можно проинтегрировать уравнение]]
 +$$ y^{n}=f(x,​y^{(n-1)}) $$
 +, где ''​(n-1)''​ -- порядок производной функции y.
 +
 +''​Например:''​ Уравнение вида
 +$$
 + ​\frac{d^{2}y}{dx^{2}}
 + =f \left (
 +  y, \frac{dy}{dx}
 + ​\right )
 + ​\qquad (2)
 +$$
 +не содержит явным образом независимой переменной ''​x''​.
 +
 +Для его решения снова положим
 +$$
 + ​\frac{dy}{dx}=p
 + ​\qquad (3)
 +$$
 +но теперь будем считать ''​p''​ функцией от ''​y''​ (а не от ''​x'',​ как прежде). Тогда
 +$$
 + ​\frac{d^{2}y}{dx^{2}}
 + ​=\frac{dp}{dx}
 + ​=\frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}
 + ​=\frac{dp}{dy} \cdot p
 +$$
 +
 +Подставляя выражение $\frac{dy}{dp}$ и $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ в уравнение (**2**), получим уравнение 1-ого порядка
 +$p\frac{dp}{dy}=f(y,​p)$
 +
 +Интегрируя его, найдём ''​p''​ , как функцию ''​y''​ и производной постоянной $C_{1}$ :
 +
 +Подставляя это значение в соотношение (**3**), получим
 +$$
 + ​\frac{dy}{dx}=p(y,​C_{1})
 + \\
 + ​\frac{dy}{p(y,​C_{1})}=dx
 +$$
 +
 +Интегрируя это уравнение,​ получим общий интеграл исходного уравнения
 +$$ \Phi(x,​y,​C_{1},​C_{2}=0 $$
 +
 +===== Примеры =====
 +**Пример 1**
 +
 +Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общий интеграл уравнения]]:​
 +$F(x,​{y}',​{y}''​)=0$
 +
 +''​Решение:''​
 +
 +{{ youtube>​3o1rvmdjDxA |Понижение порядка дифференциального уравнения. Пример решения }}
 +
 +----
 +**Пример 2**
 +
 +Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общий интеграл уравнения]]:​
 +$F(y,​{y}',​{y}''​)=0$
 +
 +''​Решение:''​
 +
 +{{ youtube>​_X6W8m9CpYM |Понижение порядка ДУ. Можно проинтегрировать дифференциальное уравнение. Пример решения }}
 +
 +----
 +**Пример 3**
 +
 +  - Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]:​ $$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=2y^{3}$$
 +  - Найти [[решение задачи коши|частное решение,​ которое удовлетворяет начальному условию]]:​ $$\left\{\begin{matrix} y(0)=1 \\ {y}'​(0)=1 \end{matrix}\right.$$
 +
 +''​Решение:''​
 +
 +{{ youtube>​sJwi_zx6Fvw |Понижение порядка дифференциального уравнения. Решение задачи }}
 +
 +----
 +**Пример 4.**
 +
 +Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общий интеграл уравнения]]
 +$$ x\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dy}{dx} $$
 +
 +''​Решение.''​ Пусть $\frac{dy}{dx}=p$ , тогда $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dp}{dx}$
 +$$
 + ​x\frac{dp}{dx}=p
 + \\
 + ​\frac{dp}{p}=\frac{dx}{x}
 + \\
 + ​\ln{|p|}=\ln{|x|}+\ln{|C_{1}|}
 + \\
 + ​p=C_{1}x
 +$$
 +
 +Возвратимся к переменной ''​y'':​ ${y}'​=C_{1}x$
 +$$
 + y=
 + \int C_{1}xdx=
 + ​C_{1}\frac{x^{2}}{2}+C_{2}
 +$$
 +
 +
 +----
 +<box 60%|⇐ [[start|Полный список тем по ДУ]]>
 +**[[start]]**
 +  * [[Дифференциальные уравнения]]
 +  * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]]
 +  * [[Уравнения с разделяющимися переменными]]
 +  * [[Решение задачи Коши]]
 +  * [[Общее решение дифференциального уравнения]]
 +  * [[Однородные уравнения]]
 +  * [[Уравнения,​ приводящиеся к однородным]]
 +  * [[Линейные уравнения первого порядка]]
 +  * [[Уравнение Бернулли]]
 +  * [[Уравнение в полных дифференциалах]]
 +  * [[Интегрирующий множитель]]
 +  * **Понижение порядка дифференциального уравнения**
 +  * [[Линейные однородные уравнения 2 порядка]]
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка]]
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]]
 +  * [[Геометрические и физические задачи]]
 +</​box>​
subjects/diffury/понижение_порядка_ду.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:29 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты