Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:diffury:уравнение_бернулли

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:diffury:уравнение_бернулли [2014/12/14 23:30]
subjects:diffury:уравнение_бернулли [2014/12/15 20:28] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +|[** ⇐ [[start|Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ)]] **]|
  
 +====== Уравнение Бернулли ======
 +**Уравнение Бернулли имеет вид**
 +$$\frac{dy}{dx}+p(x)\cdot y=Q(x)\cdot y^{n} \qquad (1)$$
 +, **где** $n \neq 0$ .
 +
 +С помощью замены переменной ​
 +$$z=\frac{1}{ y^{n-1} } \qquad (2)$$
 +уравнение Бернулли [[линейные уравнения первого порядка|приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное]].
 +
 +===== Примеры =====
 +**Пример 1.** Решить уравнение ${3y}'​+y=\frac{1}{y^{2}}$
 +
 +''​Решение.''​ Умножим обе части уравнения на $y^{2}$ , т.е. на $y^{-n}$ ''​см.формулу (**1**)''​
 +$$ 3y^{2}{y}'​+y^{3}=1 $$
 +
 +Положим $y^{3}=z$ , тогда $3y^{2}{y}'​=\frac{dz}{dx}$ ''​см.формулу (**2**)''​ и подставим в уравнение
 +$$
 + ​\frac{dz}{dx}+z=1
 + \\
 + z=uv
 + \;;\;
 + ​\frac{dz}{dx}=u \frac{dv}{dx}+v \frac{du}{dx}
 + \\
 + u \left (
 +  \frac{dv}{dx} +v
 + ​\right )
 + +v \frac{du}{dx}=1
 + \;;\;
 + ​\frac{dv}{dx}+v=0
 + \;;\;
 + ​\ln{v}=-x
 + \;;\;
 + ​v=e^{-x}
 + \\
 + ​e^{-x}\frac{du}{dx}=1
 + \;;\;
 + ​du=e^{x}dx
 + \;;\;
 + ​u=e^{x}+C
 + \\
 + ​z=uv=e^{-x}(e^{x}+C)=1+Ce^{-x}
 + \\
 + ​y^{3}=1+Ce^{-x}
 +$$
 +
 +----
 +<box 60%|⇐ [[start|Полный список тем по ДУ]]>
 +**[[start]]**
 +  * [[Дифференциальные уравнения]]
 +  * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]]
 +  * [[Уравнения с разделяющимися переменными]]
 +  * [[Решение задачи Коши]]
 +  * [[Общее решение дифференциального уравнения]]
 +  * [[Однородные уравнения]]
 +  * [[Уравнения,​ приводящиеся к однородным]]
 +  * [[Линейные уравнения первого порядка]]
 +  * **Уравнение Бернулли**
 +  * [[Уравнение в полных дифференциалах]]
 +  * [[Интегрирующий множитель]]
 +  * [[Понижение порядка ду]]
 +  * [[Линейные однородные уравнения 2 порядка]]
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка]]
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]]
 +  * [[Геометрические и физические задачи]]
 +</​box>​
subjects/diffury/уравнение_бернулли.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:28 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты