Инструменты пользователя
subjects:diffury:уравнение_в_полных_дифференциалах
Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Следующая версия | Предыдущая версия | ||
|
subjects:diffury:уравнение_в_полных_дифференциалах [2014/12/11 03:25] ¶ создано |
subjects:diffury:уравнение_в_полных_дифференциалах [2014/12/15 20:28] (текущий) ¶ |
||
|---|---|---|---|
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| - | <box 60%|[[start]]> | + | |[** ⇐ [[start|Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ)]] **]| |
| - | * **[[]]** | + | |
| - | </box> | + | |
| ====== Уравнения в полных дифференциалах ====== | ====== Уравнения в полных дифференциалах ====== | ||
| Дифференциальное уравнение вида | Дифференциальное уравнение вида | ||
| $$M(x,y)dx +N(x,y)dy =0 \qquad (1)$$ | $$M(x,y)dx +N(x,y)dy =0 \qquad (1)$$ | ||
| - | называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции $u(x,y)$ т.е. | + | называется **уравнением в полных дифференциалах**, если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции $u(x,y)$ т.е. |
| - | $$ Mdx+Ndy\equiv du\equiv \frac{du}{dx}dx+\frac{du}{dy}dy $$ | + | $$ Mdx+Ndy\equiv du\equiv \frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy =0$$ |
| - | Для того чтобы (**1**) являлось уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области ''D'' изменения переменных ''x'' и ''y'' выполнялось условие | + | **Для того чтобы (''1'') являлось уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области ''D'' изменения переменных ''x'' и ''y'' выполнялось условие** |
| - | $$ | + | $$ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} \qquad (2) $$ |
| - | \frac{dM}{dy}=\frac{dN}{dx} | + | **, тогда общим решением дифференциального уравнения в полных дифференциалах будет** |
| - | \;\; | + | $$ u(x,y)=C \qquad (3) $$ |
| - | u(x,y)=C | + | |
| - | $$ | + | |
| - | Общий интеграл уравнения (**1**) имеет вид | + | Или по другому -- общий интеграл уравнения (**1**) имеет вид: |
| $$ | $$ | ||
| \int_{x_{0}}^{x} | \int_{x_{0}}^{x} | ||
| Строка 27: | Строка 23: | ||
| ---- | ---- | ||
| - | **Пример 1.** Решить уравнение | + | **Пример 1** |
| + | |||
| + | Решить дифференциальное уравнение: | ||
| + | $P{x,y}\;dx+Q(x,y)\;dy=0$ | ||
| + | |||
| + | ''Решение дифференциального уравнения:'' | ||
| + | |||
| + | {{ youtube>Zsp3uYnY6bU |Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Решение }} | ||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | **Пример 2.** | ||
| + | |||
| + | Решить уравнение. [[Общее решение дифференциального уравнения|Найти общее решение]]. | ||
| $$ \frac{y}{x}dx+(y^{2}+\ln{x})dy=0 $$ | $$ \frac{y}{x}dx+(y^{2}+\ln{x})dy=0 $$ | ||
| ''Решение.'' Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах | ''Решение.'' Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах | ||
| $$ | $$ | ||
| - | \frac{dM}{dy}=\frac{d}{dy} | + | \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{d}{dy} |
| \left ( | \left ( | ||
| \frac{y}{x} | \frac{y}{x} | ||
| Строка 38: | Строка 46: | ||
| =\frac{1}{x} | =\frac{1}{x} | ||
| \\ | \\ | ||
| - | \frac{dN}{dx}=\frac{d}{dx} | + | \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x} |
| (y^{2}+\ln{x})=\frac{1}{x} | (y^{2}+\ln{x})=\frac{1}{x} | ||
| $$ | $$ | ||
| , так что | , так что | ||
| - | $ \frac{dM}{dy}=\frac{dN}{dx} $ | + | $ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} $ |
| То данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и | То данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и | ||
| - | $ M=\frac{du}{dx}=\frac{y}{{x}'} \;;\; N=\frac{du}{dy}=y^{2}+\ln{x} $ | + | $ M=\frac{du}{dx}=\frac{y}{{x}'} \;;\; N=\frac{\partial u}{\partial y}=y^{2}+\ln{x} $ |
| , поэтому | , поэтому | ||
| - | $ \frac{du}{dy}=\frac{y}{x} $ | + | $ \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{y}{x} $ |
| , проинтегрируем | , проинтегрируем | ||
| $ u=\int\frac{y}{x}dx=y\ln{x}+\varphi(y) $ | $ u=\int\frac{y}{x}dx=y\ln{x}+\varphi(y) $ | ||
| где $\varphi(y)$ пока неопределённая функция. | где $\varphi(y)$ пока неопределённая функция. | ||
| - | Частная производная $\frac{du}{dy}$ найденной функции $u(x,y)$ должна равняться | + | Частная производная $\frac{\partial u}{\partial y}$ найденной функции $u(x,y)$ должна равняться |
| $$ | $$ | ||
| y^{2}=\ln{x} | y^{2}=\ln{x} | ||
| Строка 71: | Строка 79: | ||
| ---- | ---- | ||
| - | <box 60%>[[start]]</box> | + | <box 60%|⇐ [[start|Полный список тем по ДУ]]> |
| + | **[[start]]** | ||
| + | * [[Дифференциальные уравнения]] | ||
| + | * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]] | ||
| + | * [[Уравнения с разделяющимися переменными]] | ||
| + | * [[Решение задачи Коши]] | ||
| + | * [[Общее решение дифференциального уравнения]] | ||
| + | * [[Однородные уравнения]] | ||
| + | * [[Уравнения, приводящиеся к однородным]] | ||
| + | * [[Линейные уравнения первого порядка]] | ||
| + | * [[Уравнение Бернулли]] | ||
| + | * **Уравнения в полных дифференциалах** | ||
| + | * [[Интегрирующий множитель]] | ||
| + | * [[Понижение порядка ду]] | ||
| + | * [[Линейные однородные уравнения 2 порядка]] | ||
| + | * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка]] | ||
| + | * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]] | ||
| + | * [[Геометрические и физические задачи]] | ||
| + | </box> | ||
subjects/diffury/уравнение_в_полных_дифференциалах.1418257539.txt.gz · Последние изменения: 2014/12/11 03:25 — ¶
Инструменты страницы
Записаться на занятия
Записаться на занятия к репетитору
