Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:diffury:уравнение_в_полных_дифференциалах

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:diffury:уравнение_в_полных_дифференциалах [2014/12/14 23:29]
subjects:diffury:уравнение_в_полных_дифференциалах [2014/12/15 20:28] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +|[** ⇐ [[start|Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ)]] **]|
  
 +====== Уравнения в полных дифференциалах ======
 +Дифференциальное уравнение вида
 +$$M(x,y)dx +N(x,y)dy =0 \qquad (1)$$
 +называется **уравнением в полных дифференциалах**,​ если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции $u(x,y)$ т.е.
 +$$ Mdx+Ndy\equiv du\equiv \frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy =0$$
 +
 +**Для того чтобы (''​1''​) являлось уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно,​ чтобы в некоторой области ''​D''​ изменения переменных ''​x''​ и ''​y''​ выполнялось условие**
 +$$ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} \qquad (2) $$
 +**, тогда общим решением дифференциального уравнения в полных дифференциалах будет**
 +$$ u(x,y)=C \qquad (3) $$
 +
 +Или по другому -- общий интеграл уравнения (**1**) имеет вид:
 +$$
 + ​\int_{x_{0}}^{x}
 + ​M(x,​y)dy
 + +
 + ​\int_{y_{0}}^{y}
 + ​N(x,​y)dy
 + =C
 +$$
 +
 +----
 +**Пример 1**
 +
 +Решить дифференциальное уравнение:​
 +$P{x,​y}\;​dx+Q(x,​y)\;​dy=0$
 +
 +''​Решение дифференциального уравнения:''​
 +
 +{{ youtube>​Zsp3uYnY6bU |Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Решение }}
 +
 +----
 +**Пример 2.**
 +
 +Решить уравнение. [[Общее решение дифференциального уравнения|Найти общее решение]].
 +$$ \frac{y}{x}dx+(y^{2}+\ln{x})dy=0 $$
 +
 +''​Решение.''​ Проверим,​ что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах
 +$$
 + ​\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{d}{dy}
 + \left (
 +  \frac{y}{x}
 + ​\right )
 + ​=\frac{1}{x}
 + \\
 + ​\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}
 + ​(y^{2}+\ln{x})=\frac{1}{x}
 +$$
 +, так что
 +$ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} $
 +
 +То данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и
 +$ M=\frac{du}{dx}=\frac{y}{{x}'​} \;;\; N=\frac{\partial u}{\partial y}=y^{2}+\ln{x} $
 +, поэтому
 +$ \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{y}{x} $
 +, проинтегрируем
 +$ u=\int\frac{y}{x}dx=y\ln{x}+\varphi(y) $
 +где $\varphi(y)$ пока неопределённая функция.
 +
 +Частная производная $\frac{\partial u}{\partial y}$ найденной функции $u(x,y)$ должна равняться
 +$$
 + ​y^{2}=\ln{x}
 + \\
 + ​\frac{du}{dy}=\ln{x}+{\varphi}'​(y)
 + \\
 + ​\ln{x}+{\varphi}'​(y)=y^{2}+\ln{x}
 + \\
 + ​{\varphi}'​(y)=y^{2}
 + \\
 + ​\int{\varphi}'​(y)dy=\int y^{2}dy
 + \\
 + ​\varphi(y)=\frac{y^{3}}{3}
 +$$
 +
 +Общий интеграл имеет вид:
 +$y\ln{x}+\frac{y^{3}}{3}=C$
 +
 +----
 +<box 60%|⇐ [[start|Полный список тем по ДУ]]>
 +**[[start]]**
 +  * [[Дифференциальные уравнения]]
 +  * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]]
 +  * [[Уравнения с разделяющимися переменными]]
 +  * [[Решение задачи Коши]]
 +  * [[Общее решение дифференциального уравнения]]
 +  * [[Однородные уравнения]]
 +  * [[Уравнения,​ приводящиеся к однородным]]
 +  * [[Линейные уравнения первого порядка]]
 +  * [[Уравнение Бернулли]]
 +  * **Уравнения в полных дифференциалах**
 +  * [[Интегрирующий множитель]]
 +  * [[Понижение порядка ду]]
 +  * [[Линейные однородные уравнения 2 порядка]]
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка]]
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]]
 +  * [[Геометрические и физические задачи]]
 +</​box>​
subjects/diffury/уравнение_в_полных_дифференциалах.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:28 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты