Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия | ||
subjects:diffury:уравнения_приводящиеся_к_однородным [2014/12/10 23:10] ¶ |
subjects:diffury:уравнения_приводящиеся_к_однородным [2014/12/15 20:27] ¶ |
||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
- | <box 60%|[[start]]> | + | |[** ⇐ [[start|Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ)]] **]| |
- | * **[[]]** | + | |
- | </box> | + | |
====== Уравнения, приводящиеся к однородным ====== | ====== Уравнения, приводящиеся к однородным ====== | ||
Строка 28: | Строка 26: | ||
$$ | $$ | ||
- | Вводя новые переменные $\xi$ и $\eta$ по формулам $x=\xi + h \,,\, y = \eta$ , приведем уравнение к виду | + | Вводя новые переменные $\xi$ и $\eta$ по формулам $x=\xi + h \,,\, y = \eta +k$ ( ''Здесь'' $\xi \text{ и } \eta$ ''-- новые переменные, а **h** и **k** -- константы. '' $dy=d\eta \;;\; dx=d\xi$ '', следовательно '' $\frac{dy}{dx}=\frac{d\eta}{d\xi}$ ) , приведем уравнение к виду: |
$$ | $$ | ||
\frac{d\eta}{d\xi} | \frac{d\eta}{d\xi} | ||
Строка 59: | Строка 57: | ||
\right ) | \right ) | ||
$$ | $$ | ||
- | найдя его общий интеграл и заменив $\xi=x-h \,,\, \eta=-k$ , получаем общий интеграл уравнения. | + | найдя его общий интеграл и заменив $\xi=x-h \,,\, \eta=y-k$ , получаем [[общее решение дифференциального уравнения|общий интеграл уравнения]]. |
===== Случай 2 ===== | ===== Случай 2 ===== | ||
Строка 79: | Строка 77: | ||
ax+by+c | ax+by+c | ||
}{ | }{ | ||
- | x(ax+by+c{_1}) | + | k(ax+by+c{_1}) |
} | } | ||
\right ) | \right ) | ||
$$ | $$ | ||
+ | , где **k** -- константа. | ||
- | Подстановка $z=ax+by$ приводит его к уравнению с разделяющими переменными. | + | Подстановка $z=ax+by$ приводит его к [[уравнения с разделяющимися переменными|уравнению с разделяющими переменными]]. |
====== Примеры решений дифференциальных уравнений, приводящихся к однородным ====== | ====== Примеры решений дифференциальных уравнений, приводящихся к однородным ====== | ||
- | **Пример 1.** Решить уравнение $(x+y+1)dx +(2x+2y-1)dy$ | + | **Пример 1.** Решить уравнение $(x+y+1)dx +(2x+2y-1)dy=0$ . Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]. |
''Решение.'' Система линейных алгебраических уравнений | ''Решение.'' Система линейных алгебраических уравнений | ||
Строка 98: | Строка 97: | ||
$$ | $$ | ||
несовместна. В том случае метод, применённый в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку | несовместна. В том случае метод, применённый в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку | ||
- | $ x+y=z \,,\, dy=dz-dx $ | + | $ x+y=z \,\Rightarrow\, y=z-x \,\Rightarrow\, dy=dz-dx $ |
. Уравнение примет вид | . Уравнение примет вид | ||
$ (2-z)dx +(2x-1)dz =0 $ | $ (2-z)dx +(2x-1)dz =0 $ | ||
- | Разделяя, переменные получаем | + | [[уравнения с разделяющимися переменными|Разделяя, переменные]] получаем |
$$ | $$ | ||
dx-\frac{2z-1}{z-2} =0 | dx-\frac{2z-1}{z-2} =0 | ||
Строка 112: | Строка 111: | ||
---- | ---- | ||
- | <box center 60%>[[start]]</box> | + | <box 60%|⇐ [[start|Полный список тем по ДУ]]> |
+ | **[[start]]** | ||
+ | * [[Дифференциальные уравнения]] | ||
+ | * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]] | ||
+ | * [[Уравнения с разделяющимися переменными]] | ||
+ | * [[Решение задачи Коши]] | ||
+ | * [[Общее решение дифференциального уравнения]] | ||
+ | * [[Однородные уравнения]] | ||
+ | * **Уравнения, приводящиеся к однородным** | ||
+ | * [[Линейные уравнения первого порядка]] | ||
+ | * [[Уравнение Бернулли]] | ||
+ | * [[Уравнение в полных дифференциалах]] | ||
+ | * [[Интегрирующий множитель]] | ||
+ | * [[Понижение порядка ду]] | ||
+ | * [[Линейные однородные уравнения 2 порядка]] | ||
+ | * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка]] | ||
+ | * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]] | ||
+ | * [[Геометрические и физические задачи]] | ||
+ | </box> |