Инструменты пользователя
subjects:diffury:уравнения_приводящиеся_к_однородным
Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия | Следующая версия Следующая версия справа и слева | ||
|
subjects:diffury:уравнения_приводящиеся_к_однородным [2014/12/10 23:10] ¶ |
subjects:diffury:уравнения_приводящиеся_к_однородным [2014/12/12 00:09] ¶ |
||
|---|---|---|---|
| Строка 28: | Строка 28: | ||
| $$ | $$ | ||
| - | Вводя новые переменные $\xi$ и $\eta$ по формулам $x=\xi + h \,,\, y = \eta$ , приведем уравнение к виду | + | Вводя новые переменные $\xi$ и $\eta$ по формулам $x=\xi + h \,,\, y = \eta +k$ ( ''Здесь'' $\xi \text{ и } \eta$ ''-- новые переменные, а **h** и **k** -- константы. '' $dy=d\eta \;;\; dx=d\xi$ '', следовательно '' $\frac{dy}{dx}=\frac{d\eta}{d\xi}$ ) , приведем уравнение к виду: |
| $$ | $$ | ||
| \frac{d\eta}{d\xi} | \frac{d\eta}{d\xi} | ||
| Строка 59: | Строка 59: | ||
| \right ) | \right ) | ||
| $$ | $$ | ||
| - | найдя его общий интеграл и заменив $\xi=x-h \,,\, \eta=-k$ , получаем общий интеграл уравнения. | + | найдя его общий интеграл и заменив $\xi=x-h \,,\, \eta=y-k$ , получаем [[общее решение дифференциального уравнения|общий интеграл уравнения]]. |
| ===== Случай 2 ===== | ===== Случай 2 ===== | ||
| Строка 79: | Строка 79: | ||
| ax+by+c | ax+by+c | ||
| }{ | }{ | ||
| - | x(ax+by+c{_1}) | + | k(ax+by+c{_1}) |
| } | } | ||
| \right ) | \right ) | ||
| $$ | $$ | ||
| + | , где **k** -- константа. | ||
| - | Подстановка $z=ax+by$ приводит его к уравнению с разделяющими переменными. | + | Подстановка $z=ax+by$ приводит его к [[уравнения с разделяющимися переменными|уравнению с разделяющими переменными]]. |
| ====== Примеры решений дифференциальных уравнений, приводящихся к однородным ====== | ====== Примеры решений дифференциальных уравнений, приводящихся к однородным ====== | ||
| - | **Пример 1.** Решить уравнение $(x+y+1)dx +(2x+2y-1)dy$ | + | **Пример 1.** Решить уравнение $(x+y+1)dx +(2x+2y-1)dy=0$ . Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]. |
| ''Решение.'' Система линейных алгебраических уравнений | ''Решение.'' Система линейных алгебраических уравнений | ||
| Строка 98: | Строка 99: | ||
| $$ | $$ | ||
| несовместна. В том случае метод, применённый в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку | несовместна. В том случае метод, применённый в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку | ||
| - | $ x+y=z \,,\, dy=dz-dx $ | + | $ x+y=z \,\Rightarrow\, y=z-x \,\Rightarrow\, dy=dz-dx $ |
| . Уравнение примет вид | . Уравнение примет вид | ||
| $ (2-z)dx +(2x-1)dz =0 $ | $ (2-z)dx +(2x-1)dz =0 $ | ||
| - | Разделяя, переменные получаем | + | [[уравнения с разделяющимися переменными|Разделяя, переменные]] получаем |
| $$ | $$ | ||
| dx-\frac{2z-1}{z-2} =0 | dx-\frac{2z-1}{z-2} =0 | ||
subjects/diffury/уравнения_приводящиеся_к_однородным.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:27 — ¶
Инструменты страницы
Записаться на занятия
Записаться на занятия к репетитору
