Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:diffury:уравнения_приводящиеся_к_однородным

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:diffury:уравнения_приводящиеся_к_однородным [2014/12/14 23:31]
subjects:diffury:уравнения_приводящиеся_к_однородным [2014/12/15 20:27] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +|[** ⇐ [[start|Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ)]] **]|
  
 +====== Уравнения,​ приводящиеся к однородным ======
 +Рассмотрим уравнения вида
 +$$
 + ​\frac{dy}{dx}
 + = f \left (
 +  \frac{ax+by+c}{a{_1}x+b{_1}y+c{_1}}
 + ​\right )
 +$$
 +
 +$a,​b,​c,​a{_1},​b{_1},​c{_1}$ — постоянные
 +
 +Если $c=c{_1}=0$ , то уравнение является однородным. Если хотя бы одно из чисел $c,c{_1}$ отлично от нуля, то следует различать **два случая**.
 +
 +===== Случай 1 =====
 +$$
 + 1) \qquad
 + ​\Delta =
 + ​\begin{vmatrix}
 +  ab
 +  \\
 +  a_{1}b_{1}
 + ​\end{vmatrix}
 + \neq 0
 +$$
 +
 +Вводя новые переменные $\xi$ и $\eta$ по формулам $x=\xi + h \,,\, y = \eta +k$ ( ''​Здесь''​ $\xi \text{ и } \eta$ ''​-- новые переменные,​ а **h** и **k** -- константы. ''​ $dy=d\eta \;;\; dx=d\xi$ '',​ следовательно ''​ $\frac{dy}{dx}=\frac{d\eta}{d\xi}$ ) , приведем уравнение к виду:
 +$$
 + ​\frac{d\eta}{d\xi}
 + = f \left (
 +  \frac{
 +   ​a\xi+b\eta+ah+bk+c  ​
 +  }{
 +   ​a_{1}\xi+b_{1}\eta+a_{1}h+b_{1}k+c_{1}
 +  }
 + ​\right )
 +$$
 +Выбирая ''​h''​ и ''​k''​ как решение системы линейных уравнений
 +$$
 + ​\left\{\begin{matrix}
 +  ah+bk+c=0
 +  \\
 +  a_{1}h+b_{1}k+c_{1}=0
 + ​\end{matrix}\right.
 +$$
 +
 +получаем однородное уравнение
 +$$
 + ​\frac{d\eta}{d\xi}
 + = f \left (
 +  \frac{
 +   ​a\xi+b\eta
 +  }{
 +   ​a_{1}\xi+b_{1}\eta
 +  }
 + ​\right )
 +$$
 +найдя его общий интеграл и заменив $\xi=x-h \,,\, \eta=y-k$ , получаем [[общее решение дифференциального уравнения|общий интеграл уравнения]].
 +
 +===== Случай 2 =====
 +$$
 + 2) \qquad
 + ​\Delta =
 + ​\begin{vmatrix}
 +  ab
 +  \\
 +  a_{1}b_{1}
 + ​\end{vmatrix}
 + = 0
 +$$
 + и уравнение имеет вид
 +$$
 + ​\frac{dy}{dx}
 + = f \left (
 +  \frac{
 +   ​ax+by+c
 +   }{
 +    k(ax+by+c{_1})
 +   }
 + ​\right )
 +$$
 +, где **k** -- константа.
 +
 +Подстановка $z=ax+by$ приводит его к [[уравнения с разделяющимися переменными|уравнению с разделяющими переменными]].
 +
 +====== Примеры решений дифференциальных уравнений,​ приводящихся к однородным ======
 +**Пример 1.** Решить уравнение $(x+y+1)dx +(2x+2y-1)dy=0$ . Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]].
 +
 +''​Решение.''​ Система линейных алгебраических уравнений
 +$$
 + ​\left\{\begin{matrix}
 +  x+y+1=0
 + \\
 +  2x+2y-1=0
 + ​\end{matrix}\right.
 +$$
 +несовместна. В том случае метод, применённый в предыдущем примере,​ не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку
 +$ x+y=z \,​\Rightarrow\,​ y=z-x \,​\Rightarrow\,​ dy=dz-dx $
 +. Уравнение примет вид
 +$ (2-z)dx +(2x-1)dz =0 $
 +
 +[[уравнения с разделяющимися переменными|Разделяя,​ переменные]] получаем
 +$$
 + ​dx-\frac{2z-1}{z-2} =0
 + \\
 + ​x-2z-3\ln{|z-2|} =C
 + \\
 + ​x+2y+\ln{|x+y-2|}=C
 +$$
 +
 +----
 +<box 60%|⇐ [[start|Полный список тем по ДУ]]>
 +**[[start]]**
 +  * [[Дифференциальные уравнения]]
 +  * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]]
 +  * [[Уравнения с разделяющимися переменными]]
 +  * [[Решение задачи Коши]]
 +  * [[Общее решение дифференциального уравнения]]
 +  * [[Однородные уравнения]]
 +  * **Уравнения,​ приводящиеся к однородным**
 +  * [[Линейные уравнения первого порядка]]
 +  * [[Уравнение Бернулли]]
 +  * [[Уравнение в полных дифференциалах]]
 +  * [[Интегрирующий множитель]]
 +  * [[Понижение порядка ду]]
 +  * [[Линейные однородные уравнения 2 порядка]]
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка]]
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]]
 +  * [[Геометрические и физические задачи]]
 +</​box>​
subjects/diffury/уравнения_приводящиеся_к_однородным.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:27 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты