Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия | |||
subjects:diffury:уравнения_с_разделяющимися_переменными [2014/12/14 23:33] ¶ |
subjects:diffury:уравнения_с_разделяющимися_переменными [2014/12/15 20:25] (текущий) ¶ |
||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | |[** ⇐ [[start|Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ)]] **]| | ||
+ | ====== Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ====== | ||
+ | Уравнения вида $\varphi_1(x)\Psi_1(y)dx=\varphi_2(x)\Psi_2(y)dy$ , в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от ''X'' и только от ''Y'' называется уравнением с разделяющими переменными. Путём деления на произведение $\varphi_1(y)\varphi_2(x)$ оно приводится к уравнению с разделёнными переменными: | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx | ||
+ | = | ||
+ | \frac{\Psi_2(y)}{\Psi_1(y)}dy | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Общий интеграл этого уравнения имеет вид: | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \int \frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx | ||
+ | = | ||
+ | \int \frac{\Psi_2(y)}{\Psi_1(y)}dy | ||
+ | = | ||
+ | C | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | ===== Примеры ===== | ||
+ | **Пример 1**. | ||
+ | Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]: | ||
+ | ${xy}'-y=1$ | ||
+ | |||
+ | ''Решение дифференциального уравнения:'' | ||
+ | |||
+ | {{ youtube>W0KEM_0O3as |Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общее решение }} | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 2**. | ||
+ | Найти частное решение уравнения $(1+e^{x})y{y}'=e^{x}$, удовлетворяющее начальному условию $y|_{x=0}=1$ ([[решение задачи коши|задача Коши]]) | ||
+ | |||
+ | ''Решение.'' Имеем $(1+e^{x})y\frac{dy}{dx}=e^{x}$ | ||
+ | |||
+ | Разделяя переменные, получаем: | ||
+ | $$ | ||
+ | y\;dy = | ||
+ | \frac{e^{x}}{1+e^{x}}dx | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Интегрируя, найдём общий интеграл: | ||
+ | $$ | ||
+ | \int y\;dy = | ||
+ | \int \frac{e^{x}}{1+e^{x}}dx | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{y^{2}}{2}=\ln{(1+e^{x})} +C | ||
+ | \qquad (1) | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | (**1**) -- [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]] | ||
+ | |||
+ | Полагая ''X=0'' и ''Y=1'', будем иметь $\frac{1}{2}=\ln{2}+C$ , откуда $C=\frac{1}{2} -\ln{2}$ | ||
+ | |||
+ | Подставляя в (**1**) найденное значение ''C'', получаем частное ([[решение задачи коши|решение задачи Коши]]) | ||
+ | $$ | ||
+ | y^{2} = | ||
+ | 1 +\ln{\left ( \frac{1+e^{x}}{2} \right )^{2}} | ||
+ | \;; | ||
+ | \\ | ||
+ | y= | ||
+ | \pm\sqrt{ | ||
+ | 1 +\ln{\left ( \frac{1+e^{x}}{2} \right )^{2}} | ||
+ | } | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Из начального $u=\frac{y}{x}$ условия следует, что $y>0 ( y|_{x=0}=1 >0)$ поэтому перед корнем берём знак ''плюс''. Итак, искомое частное решение | ||
+ | $$ | ||
+ | y=\sqrt{ | ||
+ | 1 +\ln{\left ( \frac{1+e^{x}}{2} \right )^{2}} | ||
+ | } | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 3**. | ||
+ | - Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]: $y\;dx+x\;dy=0$ | ||
+ | - Которое [[решение задачи коши|удовлетворяет начальному условию]]: $y(1)=-2$ | ||
+ | |||
+ | ''Решение дифференциального уравнения:'' | ||
+ | |||
+ | {{ youtube>OGw4s85o-_Y |Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Решение задачи Коши }} | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 4**. | ||
+ | Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]: | ||
+ | $$ \frac{dy}{dx}=x^{3} $$ | ||
+ | |||
+ | ''Решение дифференциального уравнения:'' | ||
+ | |||
+ | {{ youtube>Hny4dYVarnQ |Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общее решение дифференциального уравнения }} | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 5**. | ||
+ | Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]: | ||
+ | $$ \frac{dy}{dx}=2\frac{y}{x} $$ | ||
+ | |||
+ | ''Решение дифференциального уравнения:'' | ||
+ | |||
+ | {{ youtube>N7GmPlgr-ls |ДУ с разделяющимися переменными. Найти общее решение. Пример }} | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 6**. | ||
+ | Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]: | ||
+ | $$ \frac{dy}{dx}=-xy $$ | ||
+ | |||
+ | ''Решение дифференциального уравнения:'' | ||
+ | |||
+ | {{ youtube>WMqqj_37QKo |Найти общее решение дифференциального уравнения. ДУ с разделяющимися переменными. Пример решения }} | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 7**. | ||
+ | $$ {y}'={\rm tg}\,x\cdot{\rm tg}\,y $$ | ||
+ | |||
+ | ''Решение:'' | ||
+ | |||
+ | {{ youtube>KbgOGbAjGLg?122 |ДУ с разделяющимися переменными }} | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 8**. | ||
+ | - Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]: $$\frac{dy}{dx}=\frac{{x}^{2}}{y}$$ | ||
+ | - Которое [[решение задачи коши|удовлетворяет начальному условию]]: $y(0)=3$ | ||
+ | |||
+ | ''Решение дифференциального уравнения:'' | ||
+ | |||
+ | {{ youtube>SgEn1IMLDVw |Решение задачи Коши (диффуры). Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными }} | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | <box 60%|⇐ [[start|Полный список тем по ДУ]]> | ||
+ | **[[start]]** | ||
+ | * [[Дифференциальные уравнения]] | ||
+ | * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]] | ||
+ | * **Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными** | ||
+ | * [[Решение задачи Коши]] | ||
+ | * [[Общее решение дифференциального уравнения]] | ||
+ | * [[Однородные уравнения]] | ||
+ | * [[Уравнения, приводящиеся к однородным]] | ||
+ | * [[Линейные уравнения первого порядка]] | ||
+ | * [[Уравнение Бернулли]] | ||
+ | * [[Уравнение в полных дифференциалах]] | ||
+ | * [[Интегрирующий множитель]] | ||
+ | * [[Понижение порядка ду]] | ||
+ | * [[Линейные однородные уравнения 2 порядка]] | ||
+ | * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка]] | ||
+ | * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]] | ||
+ | * [[Геометрические и физические задачи]] | ||
+ | </box> |