Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- subjects:diffury:уравнения_с_разделяющимися_переменными [2014/12/14 23:33]
¶
+++ subjects:diffury:уравнения_с_разделяющимися_переменными [2014/12/15 20:25] (текущий)
¶
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+|[** ⇐ [[start|Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ)]] **]|
+====== Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ======
+Уравнения вида $\varphi_1(x)\Psi_1(y)dx=\varphi_2(x)\Psi_2(y)dy$ , в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от ''X'' и только от ''Y'' называется уравнением с разделяющими переменными. Путём деления на произведение $\varphi_1(y)\varphi_2(x)$ оно приводится к уравнению с разделёнными переменными:
+$$
+ \frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx
+ =
+ \frac{\Psi_2(y)}{\Psi_1(y)}dy
+$$
+Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
+$$
+ \int \frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx
+ =
+ \int \frac{\Psi_2(y)}{\Psi_1(y)}dy
+ =
+ C
+$$
+===== Примеры =====
+**Пример 1**.
+Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]:
+${xy}'-y=1$
+''Решение дифференциального уравнения:''
+{{ youtube>W0KEM_0O3as |Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общее решение }}
+----
+**Пример 2**.
+Найти частное решение уравнения $(1+e^{x})y{y}'=e^{x}$, удовлетворяющее начальному условию $y|_{x=0}=1$ ([[решение задачи коши|задача Коши]])
+''Решение.'' Имеем $(1+e^{x})y\frac{dy}{dx}=e^{x}$
+Разделяя переменные, получаем:
+$$
+ y\;dy =
+ \frac{e^{x}}{1+e^{x}}dx
+$$
+Интегрируя, найдём общий интеграл:
+$$
+ \int y\;dy =
+ \int \frac{e^{x}}{1+e^{x}}dx
+ \\
+ \frac{y^{2}}{2}=\ln{(1+e^{x})} +C
+ \qquad (1)
+$$
+(**1**) -- [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]
+Полагая ''X=0'' и ''Y=1'', будем иметь $\frac{1}{2}=\ln{2}+C$ , откуда $C=\frac{1}{2} -\ln{2}$
+Подставляя в (**1**) найденное значение ''C'', получаем частное   ([[решение задачи коши|решение задачи Коши]])
+$$
+ y^{2} =
++\ln{\left ( \frac{1+e^{x}}{2} \right )^{2}}
+ \;;
+ \\
+ y=
+ \pm\sqrt{
++\ln{\left ( \frac{1+e^{x}}{2} \right )^{2}}
+ }
+$$
+Из начального $u=\frac{y}{x}$ условия следует, что $y>0 ( y|_{x=0}=1 >0)$ поэтому перед корнем берём знак ''плюс''. Итак, искомое частное решение
+$$
+ y=\sqrt{
++\ln{\left ( \frac{1+e^{x}}{2} \right )^{2}}
+ }
+$$
+----
+**Пример 3**.
+  - Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]: $y\;dx+x\;dy=0$
+  - Которое [[решение задачи коши|удовлетворяет начальному условию]]: $y(1)=-2$
+''Решение дифференциального уравнения:''
+{{ youtube>OGw4s85o-_Y |Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Решение задачи Коши }}
+----
+**Пример 4**.
+Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]:
+$$ \frac{dy}{dx}=x^{3} $$
+''Решение дифференциального уравнения:''
+{{ youtube>Hny4dYVarnQ |Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общее решение дифференциального уравнения }}
+----
+**Пример 5**.
+Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]:
+$$ \frac{dy}{dx}=2\frac{y}{x} $$
+''Решение дифференциального уравнения:''
+{{ youtube>N7GmPlgr-ls |ДУ с разделяющимися переменными. Найти общее решение. Пример }}
+----
+**Пример 6**.
+Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]:
+$$ \frac{dy}{dx}=-xy $$
+''Решение дифференциального уравнения:''
+{{ youtube>WMqqj_37QKo |Найти общее решение дифференциального уравнения. ДУ с разделяющимися переменными. Пример решения }}
+----
+**Пример 7**.
+$$ {y}'={\rm tg}\,x\cdot{\rm tg}\,y $$
+''Решение:''
+{{ youtube>KbgOGbAjGLg?122 |ДУ с разделяющимися переменными }}
+----
+**Пример 8**.
+  - Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]: $$\frac{dy}{dx}=\frac{{x}^{2}}{y}$$
+  - Которое [[решение задачи коши|удовлетворяет начальному условию]]: $y(0)=3$
+''Решение дифференциального уравнения:''
+{{ youtube>SgEn1IMLDVw |Решение задачи Коши (диффуры). Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными }}
+----
+<box 60%|⇐ [[start|Полный список тем по ДУ]]>
+**[[start]]**
+  * [[Дифференциальные уравнения]]
+  * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]]
+  * **Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными**
+  * [[Решение задачи Коши]]
+  * [[Общее решение дифференциального уравнения]]
+  * [[Однородные уравнения]]
+  * [[Уравнения, приводящиеся к однородным]]
+  * [[Линейные уравнения первого порядка]]
+  * [[Уравнение Бернулли]]
+  * [[Уравнение в полных дифференциалах]]
+  * [[Интегрирующий множитель]]
+  * [[Понижение порядка ду]]
+  * [[Линейные однородные уравнения 2 порядка]]
+  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка]]
+  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]]
+  * [[Геометрические и физические задачи]]
+</box>

wiki.eduVdom.com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Различия

Инструменты страницы

Записаться на занятия