Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:diffury:уравнения_с_разделяющимися_переменными

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:diffury:уравнения_с_разделяющимися_переменными [2014/12/14 23:33]
subjects:diffury:уравнения_с_разделяющимися_переменными [2014/12/15 20:25] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +|[** ⇐ [[start|Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ)]] **]|
  
 +====== Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ======
 +Уравнения вида $\varphi_1(x)\Psi_1(y)dx=\varphi_2(x)\Psi_2(y)dy$ , в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители,​ зависящие только от ''​X''​ и только от ''​Y''​ называется уравнением с разделяющими переменными. Путём деления на произведение $\varphi_1(y)\varphi_2(x)$ оно приводится к уравнению с разделёнными переменными:​
 +
 +$$
 + ​\frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx
 + =
 + ​\frac{\Psi_2(y)}{\Psi_1(y)}dy
 +$$
 +
 +Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
 +
 +$$
 + \int \frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx
 + =
 + \int \frac{\Psi_2(y)}{\Psi_1(y)}dy
 + =
 + C
 +$$
 +
 +===== Примеры =====
 +**Пример 1**.
 +Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]:​
 +${xy}'​-y=1$
 +
 +''​Решение дифференциального уравнения:''​
 +
 +{{ youtube>​W0KEM_0O3as |Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общее решение }}
 +
 +----
 +**Пример 2**.
 +Найти частное решение уравнения $(1+e^{x})y{y}'​=e^{x}$,​ удовлетворяющее начальному условию $y|_{x=0}=1$ ([[решение задачи коши|задача Коши]])
 +
 +''​Решение.''​ Имеем $(1+e^{x})y\frac{dy}{dx}=e^{x}$
 +
 +Разделяя переменные,​ получаем:​
 +$$
 + y\;dy =
 + ​\frac{e^{x}}{1+e^{x}}dx
 +$$
 +
 +Интегрируя,​ найдём общий интеграл:​
 +$$
 + \int y\;dy =
 + \int \frac{e^{x}}{1+e^{x}}dx
 + \\
 + ​\frac{y^{2}}{2}=\ln{(1+e^{x})} +C
 + ​\qquad (1)
 +$$
 +
 +(**1**) -- [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]
 +
 +Полагая ''​X=0''​ и ''​Y=1'',​ будем иметь $\frac{1}{2}=\ln{2}+C$ , откуда $C=\frac{1}{2} -\ln{2}$
 +
 +Подставляя в (**1**) найденное значение ''​C'',​ получаем частное ​  ​([[решение задачи коши|решение задачи Коши]])
 +$$
 + y^{2} =
 + 1 +\ln{\left ( \frac{1+e^{x}}{2} \right )^{2}}
 + \;;
 + \\
 + y=
 + ​\pm\sqrt{
 +  1 +\ln{\left ( \frac{1+e^{x}}{2} \right )^{2}}
 + }
 +$$
 +
 +Из начального $u=\frac{y}{x}$ условия следует,​ что $y>0 ( y|_{x=0}=1 >0)$ поэтому перед корнем берём знак ''​плюс''​. Итак, искомое частное решение
 +$$
 + ​y=\sqrt{
 +  1 +\ln{\left ( \frac{1+e^{x}}{2} \right )^{2}}
 + }
 +$$
 +
 +----
 +**Пример 3**.
 +  - Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]:​ $y\;​dx+x\;​dy=0$
 +  - Которое [[решение задачи коши|удовлетворяет начальному условию]]:​ $y(1)=-2$
 +
 +''​Решение дифференциального уравнения:''​
 +
 +{{ youtube>​OGw4s85o-_Y |Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Решение задачи Коши }}
 +
 +----
 +**Пример 4**.
 +Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]:​
 +$$ \frac{dy}{dx}=x^{3} $$
 +
 +''​Решение дифференциального уравнения:''​
 +
 +{{ youtube>​Hny4dYVarnQ |Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общее решение дифференциального уравнения }}
 +
 +----
 +**Пример 5**.
 +Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]:​
 +$$ \frac{dy}{dx}=2\frac{y}{x} $$
 +
 +''​Решение дифференциального уравнения:''​
 +
 +{{ youtube>​N7GmPlgr-ls |ДУ с разделяющимися переменными. Найти общее решение. Пример }}
 +
 +----
 +**Пример 6**.
 +Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]:​
 +$$ \frac{dy}{dx}=-xy $$
 +
 +''​Решение дифференциального уравнения:''​
 +
 +{{ youtube>​WMqqj_37QKo |Найти общее решение дифференциального уравнения. ДУ с разделяющимися переменными. Пример решения }}
 +
 +----
 +**Пример 7**.
 +$$ {y}'​={\rm tg}\,​x\cdot{\rm tg}\,y $$
 +
 +''​Решение:''​
 +
 +{{ youtube>​KbgOGbAjGLg?​122 |ДУ с разделяющимися переменными }}
 +
 +----
 +**Пример 8**.
 +  - Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]:​ $$\frac{dy}{dx}=\frac{{x}^{2}}{y}$$
 +  - Которое [[решение задачи коши|удовлетворяет начальному условию]]:​ $y(0)=3$
 +
 +''​Решение дифференциального уравнения:''​
 +
 +{{ youtube>​SgEn1IMLDVw |Решение задачи Коши (диффуры). Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными }}
 +
 +----
 +<box 60%|⇐ [[start|Полный список тем по ДУ]]>
 +**[[start]]**
 +  * [[Дифференциальные уравнения]]
 +  * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]]
 +  * **Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными**
 +  * [[Решение задачи Коши]]
 +  * [[Общее решение дифференциального уравнения]]
 +  * [[Однородные уравнения]]
 +  * [[Уравнения,​ приводящиеся к однородным]]
 +  * [[Линейные уравнения первого порядка]]
 +  * [[Уравнение Бернулли]]
 +  * [[Уравнение в полных дифференциалах]]
 +  * [[Интегрирующий множитель]]
 +  * [[Понижение порядка ду]]
 +  * [[Линейные однородные уравнения 2 порядка]]
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка]]
 +  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]]
 +  * [[Геометрические и физические задачи]]
 +</​box>​
subjects/diffury/уравнения_с_разделяющимися_переменными.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:25 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты