Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:значения_тригоном._ф._некоторых_углов

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:значения_тригоном._ф._некоторых_углов [2013/07/27 00:11]
subjects:geometry:значения_тригоном._ф._некоторых_углов [2013/10/12 02:05] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Теорема Пифагора - Геометрия]]**
 +    * [[Тригонометрические функции острого угла]]
 +    * [[Теорема Пифагора]]
 +    * [[Основные тригонометрические тождества]]
 +    * **Значения тригоном. ф. некоторых углов**
 +    * [[Зависимости прямоугольного треугольника]]
 +    * [[Решение прямоугольных треугольников]]
 +</​box>​
 +====== Значения тригонометрических функций некоторых углов ======
 + 
 +**''​Теорема 1.''​ Для любого острого угла α**
 +$$ \bf{
 +   \sin (90° - \alpha) = \cos \alpha ​
 +   \\ \cos (90° - \alpha) = \sin \alpha
 +} $$
  
 +''​Доказательство.''​ Пусть ABC — прямоугольный треугольник с острым углом α при вершине А (см. рис.1).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​aabc_sin_a_cos_a_tg_a_106.png?​200|Значения тригонометрических функций некоторых углов}}
 +</​box|Рис.1>​
 +Тогда острый угол при вершине В равен 90° - α. Согласно определению ​
 +$$ \sin (90° - \alpha ) = \frac{AC}{AB} \\ \cos (90° - \alpha) = \frac{BC}{AB} $$
 +или [[тригонометрические_функции_острого_угла|,​ с учетом формул (1) и (2),]]
 +$$ \sin (90° - \alpha) = \cos \alpha \\ \cos (90° - \alpha) = \sin \alpha $$
 +Теорема доказана.
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Найти значения sin 45°, cos 45° и tg 45°.
 +
 +**//​Решение.//​** Рассмотрим [[Свойства равнобедренного треугольника|равнобедренный]] прямоугольный треугольник (рис.2).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​равнобедренный_прямоугольный_треугольник_111.png?​200|Равнобедренный прямоугольный треугольник}}
 +\\ Равнобедренный прямоугольный треугольник
 +</​box|Рис.2>​
 +В нем каждый острый угол равен 45°. Пусть его катеты равны а. По теореме Пифагора его гипотенуза равна $ a\sqrt{2} $. Теперь по определению имеем:
 +$$ \sin 45° = \frac{a}{a \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}
 +\\ \cos 45° = \frac{a}{a \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}
 +\\ {\rm tg}\, 45° = \frac{a}{a} = 1
 +$$
 +----
 +**Пример 2.** Найти значения sin 30°, cos 30° и tg 30°. 
 +
 +**//​Решение.//​** Рассмотрим прямоугольный треугольник,​ у которого один из острых углов равен 30° (рис.3).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​прямоугольный_треугольник_с_углом_30_112.png?​200|Прямоугольный треугольник с углом 30°}}
 +\\ Прямоугольный треугольник с углом 30°
 +</​box|Рис.3>​
 +Пусть его гипотенуза равна с. Так как катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы ([[равенство_прямоугольных_треугольников|пример 3]]) и, значит ([[основные_тригонометрические_тождества|с учетом примера 1]])
 +$$ \cos 30° = \frac{ \sqrt{3} }{2}
 +\\ {\rm tg}\, 30° = \frac{ \sqrt{3} }{3}
 +$$
 +
 +----
 +**Пример 3.** Найти значения sin 60° и tg 60°.
 +
 +**//​Решение.//​** Согласно установленной выше теореме имеем: ​
 +$$ \sin 60° = \sin (90° - 30°) = \cos 30° = \frac{ \sqrt{3} }{2}
 +\\ \cos 60° = \cos (90° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}  ​
 +$$
 +Отсюда
 +$$ {\rm tg}\, 60° = \frac{ \sin 60° }{ \cos 60° } = \frac{ \sqrt{3} \bullet 2 }{ 2 \bullet 1 } = \sqrt{3} $$
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Основные тригонометрические тождества|← ]][[Основные тригонометрические тождества]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Зависимости прямоугольного треугольника]][[Зависимости прямоугольного треугольника| →]]|
 +^Рекомендуем для обучения:​^^^
 +|[[Тригонометрические функции острого угла]]|||
 +|[[Решение прямоугольных треугольников]]|||
 +|[[Свойства равнобедренного треугольника|Свойства равнобедренного треугольника]]|||
 +|[[subjects:​mathematics:​Тригонометрические выражения и формулы]]|^[[subjects:​mathematics:​]]|
subjects/geometry/значения_тригоном._ф._некоторых_углов.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:05 —