Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:площадь_круга_и_кругового_сектора

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:площадь_круга_и_кругового_сектора [2013/07/27 01:05]
subjects:geometry:площадь_круга_и_кругового_сектора [2013/10/12 02:25] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Площади плоских фигур]]**
 +    * [[Понятие площади]]
 +    * [[Площадь прямоугольника]]
 +    * [[Площадь параллелограмма]]
 +    * [[Площадь треугольника и ромба]]
 +    * [[Площадь трапеции]]
 +    * [[Площадь правильного многоугольника]]
 +    * **Площадь круга и кругового сектора**
 +</​box>​
 +====== Площадь круга и кругового сектора ======
 +**Кругом называется фигура,​ состоящая из всех точек плоскости,​ расстояние от которых до данной точки не больше данного** (рис.1).
 +<box 120px>
 +{{:​subjects:​geometry:​площадь_круга_176.png?​100|Площадь круга}}
 +</​box|Рис.1>​
 +Эта точка называется центром круга, а данное расстояние — радиусом круга.
 +Границей круга является окружность с тем же центром и радиусом.
  
 +Из наглядных соображений будем считать,​ что площадь круга сколь угодно мало отличается от площади вписанного в нее выпуклого многоугольника с достаточно малыми сторонами.
 +
 +Пусть R — радиус круга, а C — длина его окружности.
 +Впишем в окружность правильный n-угольник с достаточно большим числом сторон n. Площадь этого n-угольника
 +$$ S_n = \frac{1}{2}Pr $$
 +, где P — периметр n-угольника,​ а r — радиус вписанной в него окружности ([[площадь_правильного_многоугольника|теорема 1]]). При возрастании числа его сторон n периметр P сколь угодно мало отличается от числа C, а радиус r — от числа R. Говорят,​ что при возрастании n периметр P стремится к длине окружности,​ а площадь $S_n$ — к площади круга S. Поэтому
 +$$ S = \frac{1}{2}C\bullet R = \frac{1}{2} \bullet 2\pi R \bullet R  = \pi R^2 $$
 +Итак, площадь круга вычисляется по формуле ​
 +$$ S = \pi R^2 $$
 +, где R — радиус круга. ​
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Найти площадь круга, если длина окружности равна k.
 +
 +**//​Решение.//​** Длина окружности находится по формуле $C = 2\pi R$. Так как $C = k$ , то $k = 2 \pi R$ , или $R = \frac{k}{2\pi}$ , и, значит,​ площадь круга:
 +$$ S = \pi R^2 = \pi \left ( \frac{k}{2\pi} \right )^2 = \frac{\pi k^2}{4\pi^2} = \frac{k^2}{4\pi} $$
 +Круговым сектором называется часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла (рис.2).
 +<box 120px>
 +{{:​subjects:​geometry:​площадь_кругового_сектора_177.png?​100|Площадь круга и кругового сектора }}
 +</​box|Рис.2>​
 +Площадь сектора,​ дуга которого содержит один градус,​ равна $\frac{1}{360}$ площади круга.
 +Поэтому площадь сектора,​ дуга которого содержит $\alpha$ градусов,​ равна $ \frac{\pi R^2}{360} \alpha $ .
 +Итак, площадь кругового сектора вычисляется по формуле ​
 +$$ S = \frac{\pi R^2}{360} \alpha \,\,\, (1)$$
 +, где R — радиус круга, $\alpha$ — градусная мера соответствующего центрального угла.
 +
 +----
 +**Пример 2.** В равностороннем треугольнике ABC со стороной a (рис.3) дуги КМ и LM — дуги окружностей  ​
 +радиусов $\frac{a}{2}$.
 +<box 120px>
 +{{:​subjects:​geometry:​равносторонний_треугольник_178.png?​100|Равносторонний треугольник}}
 +</​box|Рис.3>​
 +Найти площадь заштрихованной части треугольника ABC.
 +
 +**//​Решение.//​** Площадь треугольника ABC равна $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ ([[площадь_правильного_многоугольника|пример 2]]), площадь ​
 +каждого из секторов АКМ и CML согласно формуле (2) равна ​
 +$$ \frac{ \pi\left ( \frac{a}{2} \right )^2 \bullet 60 }{360} = \frac{\pi a^2}{24} $$
 +Поэтому искомая площадь ​
 +$$ S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 - 2\bullet \frac{\pi a^2}{24} = \frac{a^2}{4} \left ( \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \right ) \approx 0,17 a^2 $$
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Площадь правильного многоугольника|← ]][[Площадь правильного многоугольника]]^[[subjects:​geometry:​]]||
subjects/geometry/площадь_круга_и_кругового_сектора.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:25 —