Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:свойства_равнобедренного_треугольника

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:свойства_равнобедренного_треугольника [2013/07/26 23:33]
subjects:geometry:свойства_равнобедренного_треугольника [2013/10/12 01:46] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Треугольники - Геометрия]]**
 +    * [[Треугольник и его элементы]]
 +    * [[Признаки равенства треугольников]]
 +    * **Свойства равнобедренного треугольника**
 +  * [[Основные геометрические построения]]
 +</​box>​
 +====== Свойства равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников. ======
 +Свойства равнобедренного треугольника выражают следующие теоремы.
  
 +**''​Теорема 1.''​ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.**
 +
 +**''​Теорема 2.''​ В равнобедренном треугольнике биссектриса,​ проведенная к основанию,​ является медианой и высотой.**
 +
 +**''​Теорема 3.''​ В равнобедренном треугольнике медиана,​ проведенная к основанию,​ является биссектрисой и высотой.**
 +
 +**''​Теорема 4.''​ В равнобедренном треугольнике высота,​ проведенная к основанию,​ является биссектрисой и медианой.**
 +
 +Докажем одну из них, например теорему 2.5. 
 +
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​bacd_38.png?​200|Геометрия ЕГЭ ГИА}}
 +</​box|Рис.1>​
 +''​Доказательство.''​ Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС и докажем,​ что ∠ В = ∠ С. Пусть AD — биссектриса треугольника ABC (рис.1). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию,​ AD — общая сторона,​ ∠ 1 = ∠ 2, так как AD — биссектриса). Из равенства этих треугольников следует,​ что ∠ В = ∠ С. Теорема доказана.
 +
 +С использованием теоремы 1 устанавливается следующая теорема. ​
 +
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​c1b1a1_and_acb_39.png?​200|Геометрия подготовка ЕГЭ ГИА}}
 +</​box|Рис.2>​
 +**''​Теорема 5.''​ Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника,​ то такие треугольники равны** (рис. 2).
 +
 +''​Замечание.''​ Предложения,​ установленные в примерах 1 и 2, выражают свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Из этих предложений следует,​ что **серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке**.
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Доказать,​ что точка плоскости,​ равноудаленная от концов отрезка,​ лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. ​
 +
 +**//​Решение.//​** Пусть точка М равноудалена от концов отрезка АВ (рис. 3), т. е. AM = ВМ.
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​ambop_40.png?​200|Геометрия ЕГЭ обучение ГИА}}
 +</​box|Рис.3>​
 +Тогда Δ АМВ равнобедренный. Проведем через точку М и середину О отрезка АВ прямую р. Отрезок МО по построению есть медиана равнобедренного треугольника АМВ, а следовательно (теорема 3), и высота,​ т. е. прямая МО, есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ. 
 +
 +----
 +**Пример 2.** Доказать,​ что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. ​
 +
 +**//​Решение.//​** Пусть р — серединный перпендикуляр к отрезку АВ и точка О — середина отрезка АВ (см. рис. 3).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​ambop_40.png?​200|Геометрия ЕГЭ обучение ГИА}}
 +</​box|Рис.3>​
 +Рассмотрим произвольную точку М, лежащую на прямой р. Проведем отрезки AM и ВМ. Треугольники АОМ и ВОМ равны, так как у них углы при вершине О прямые,​ катет ОМ общий, а катет ОА равен катету ОВ по условию. Из равенства треугольников АОМ и ВОМ следует,​ что AM = ВМ. 
 +
 +----
 +**Пример 3.** В треугольнике ABC (см. рис. 4) АВ = 10 см, ВС = 9 см, АС = 7 см; в треугольнике DEF DE = 7 см, EF = 10 см, FD = 9 см.
 +<box 320px>
 +{{:​subjects:​geometry:​acb_and_edf.png?​300|Справочник Геометрия ЕГЭ ГИА}}
 +</​box|Рис.4>​
 +Сравнить треугольники ABC и DEF. Найти соответственно равные углы. ​
 +
 +**//​Решение.//​** Данные треугольники равны по третьему признаку. Соответственно равные углы: А и Е (лежат против равных сторон ВС и FD), В и F (лежат против равных сторон АС и DE), С и D (лежат против равных сторон АВ и EF). 
 +
 +----
 +**Пример 4.** На рисунке 5 АВ = DC, ВС = AD, ∠B = 100°.
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​abcd_41.png?​200|Геометрия ЕГЭ ГИА справочник}}
 +</​box|Рис.5>​
 +Найти угол D.
 +
 +**//​Решение.//​** Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Они равны по третьему признаку (АВ = DC, ВС = AD по условию и сторона АС — общая). Из равенства этих треугольников следует,​ что ∠ В = ∠ D, но угол В равен 100°, значит,​ и угол D равен 100°.
 +
 +----
 +**Пример 5.** В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.
 +
 +**//​Видео-решение.//​**
 +{{ youtube>​JP-5AvwSJhA |В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC .}}
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Признаки равенства треугольников|← ]][[Признаки равенства треугольников]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Окружность]][[Окружность| →]]|
 +^Рекомендуем для обучения:​^^^
 +|[[Признаки подобия треугольников|3 признака подобия треугольников]]|||
 +|[[Подобие произвольных фигур]]|||
 +|[[http://​www.youtube.com/​watch?​v=JP-5AvwSJhA&​feature=share&​list=PL5sgenQGNJ1Gpt_wItW2kbstLvKo2v61c|Найти угол в равнобедренном треугольнике]]|^[[http://​www.youtube.com/​user/​eduvdomCOM/​videos?​view=1|YouTube]]^
subjects/geometry/свойства_равнобедренного_треугольника.txt · Последние изменения: 2013/10/12 01:46 —