Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:центральные_и_вписанные_углы

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:центральные_и_вписанные_углы [2013/07/27 00:52]
subjects:geometry:центральные_и_вписанные_углы [2013/10/12 02:14] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Окружность - Геометрия]]**
 +    * [[Касательная к окружности]]
 +    * **Центральные и вписанные углы**
 +    * [[Вписанная и описанная окружности]]
 +    * [[Пропорциональность отрезков хорд и секущих]]
 +</​box>​
 +====== Центральные и вписанные углы ======
 +Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. На //​рисунке 1// заштрихован один из плоских углов со сторонами a и b.
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​угол_разбивает_плоскость_142.png?​200|Угол разбивает плоскость на две части }}
 +\\ Угол разбивает плоскость на две части
 +</​box|Рис.1>​
  
 +Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.
 +
 +Если плоский угол является частью полуплоскости,​ то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами. Если плоский угол содержит полуплоскость,​ то его градусная мера принимается равной 360° - $\alpha$, где $\alpha$ — градусная мера дополнительного плоского угла (рис.2).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​a_360-a_143.png?​200|градусная мера дополнительного плоского угла}}
 +</​box|Рис.2>​
 +
 +Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности,​ расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности,​ соответствующей этому центральному углу (рис.3).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​центральный_угол_144.png?​200|Центральный угол}}
 +\\ Центральный угол
 +</​box|Рис.3>​
 +
 +Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.
 +
 +Угол, вершина которого лежит на окружности,​ а стороны пересекают эту окружность,​ называется вписанным в окружность. Угол ВАС на //​рисунке 4// вписан в окружность.
 +<box 420px>
 +{{:​subjects:​geometry:​boc_bac_145.png?​400|Репетитор онлайн курсы, дистанционное обучение}}
 +</​box|Рис.4>​
 +
 +Его вершина А лежит на окружности,​ а стороны пересекают окружность в точках В и С. Говорят также, что угол А  ​
 +опирается на хорду ВС. Прямая ВС разбивает окружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той из этих дуг, ​
 +которая не содержит точку А, называется центральным углом, соответствующим данному вписанному углу.
 +
 +**''​Теорема 1.''​ Угол, вписанный в окружность,​ равен половине соответствующего центрального угла.**
 +
 +''​Доказательство.''​ Рассмотрим частный случай,​ когда одна из сторон угла проходит через центр окружности (рис.5).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​abc-12aoc_146.png?​200|Репетитор онлайн курсы по геометрии}}
 +</​box|Рис.5>​
 +
 +[[Свойства равнобедренного треугольника|Треугольник АОВ равнобедренный]],​ так как у него стороны OA и OB равны как радиусы. Поэтому углы А и В треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине О, то угол В треугольника равен половине угла АОС, что и требовалось доказать.
 +
 +''​Следствие 1. **Вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности,​ а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны**''​ См. пример 2.
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Точки А, В, С лежат на окружности с центром О; угол ABC равен 66°. Найти центральный угол, соответствующий углу ABC.
 +
 +**//​Решение.//​** Пусть условию задачи отвечает рисунок 5.
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​abc-12aoc_146.png?​200|Репетитор онлайн курсы по геометрии}}
 +</​box|Рис.5>​
 +
 +Угол ABC вписан в окружность. Поэтому согласно теореме о вписанном угле $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle АОС$ или $\angle АОС = 2\angle ABC$. Но $\angle ABC = 66°$ и, значит,​ $\angle АОС = 132°$ .
 +
 +----
 +**Пример 2.** Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна хорда АС, если угол ABC равен 30°, а диаметр окружности 10 см?
 +
 +**//​Решение.//​** Пусть условию задачи отвечает //​рисунок 6//, где $\angle ABC = 30°$ .
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​aboc_147.png?​200|Геометрия репетитор онлайн}}
 +</​box|Рис.6>​
 +
 +Так как вписанный угол ABC равен $\frac{1}{2} \angle АОС\text{ , то }\angle АОС = 60°. $
 +Следовательно,​ треугольник АОС равносторонний,​ и, значит,​ хорда АС равна радиусу данной окружности. А так как диаметр  ​
 +равен 10 см, то радиус равен 5 см.
 +
 +''​Следствие 1. **Вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности,​ а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны**''​ (рис. 7).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​acb_148.png?​200|Дистанционное обучение}}
 +</​box|Рис.7>​
 +
 +В частности,​ углы, опирающиеся на диаметр,​ прямые.
 +
 +----
 +**Пример 3.** Точка O — центр окружности,​ ∠ ACB = 25°. Найдите величину угла AOB (в градусах).
 +
 +**//​Видео-решение.//​**
 +{{ youtube>​ltwF0kw8O6Q |Точка O — центр окружности,​ ∠ ACB = 25°. Найдите величину угла AOB (в градусах).}}
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Касательная к окружности|← ]][[Касательная к окружности]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Вписанная и описанная окружности]][[Вписанная и описанная окружности| →]]|
 +^Рекомендуем для обучения:​^^^
 +|[[Свойства равнобедренного треугольника|Свойства равнобедренного треугольника]]|||
 +|[[http://​www.youtube.com/​watch?​v=ltwF0kw8O6Q&​feature=share&​list=PL5sgenQGNJ1Gpt_wItW2kbstLvKo2v61c|Найти угол в окружности]]|^[[http://​www.youtube.com/​user/​eduvdomCOM/​videos?​view=1|YouTube]]^
subjects/geometry/центральные_и_вписанные_углы.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:14 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты