Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Следующая версия | Предыдущая версия | ||
subjects:mathematics:множество_значений_функции [2018/09/16 22:43] ¶ создано |
subjects:mathematics:множество_значений_функции [2018/09/19 21:14] ¶ |
||
---|---|---|---|
Строка 50: | Строка 50: | ||
|$y = x^{2n +1}$ |E(y) = (-∞;+∞)| | |$y = x^{2n +1}$ |E(y) = (-∞;+∞)| | ||
|$y = k/x$ |E(y) = (-∞;0)u(0;+∞)| | |$y = k/x$ |E(y) = (-∞;0)u(0;+∞)| | ||
- | |$y = x^{1/2n}$ |E(y) = [0;+∞)| | + | |$y = x^{\frac{1}{2n}}$ |E(y) = [0;+∞)| |
- | |$y = x^{1/2n+1}$ |E(y) = (-∞;+∞)| | + | |$y = x^{\frac{1}{2n+1}}$ |E(y) = (-∞;+∞)| |
|$y = a^{x}$ |E(y) = (0;+∞)| | |$y = a^{x}$ |E(y) = (0;+∞)| | ||
- | |$y = \log{a}{x}$ |E(y) = (-∞;+∞)| | + | |$y = \log_{a}{x}$ |E(y) = (-∞;+∞)| |
|$y = \sin{x}$ |E(y) = [-1;1]| | |$y = \sin{x}$ |E(y) = [-1;1]| | ||
|$y = \cos{x}$ |E(y) = [-1;1]| | |$y = \cos{x}$ |E(y) = [-1;1]| | ||
Строка 79: | Строка 79: | ||
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: | Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: | ||
++++ $f(x)=\sin^{2}{x}+\cos{x}-\frac{1}{2}$ | | ++++ $f(x)=\sin^{2}{x}+\cos{x}-\frac{1}{2}$ | | ||
- | Так как $ f(x) = 1-\cos^{2}{x}\cos{x}-\frac{1}{2} = \frac{3}{4}-(\cos{x}-\frac{1}{2})^{2} $, то: | + | Так как $ |
+ | \\ f(x) = 1-\cos^{2}{x}+\cos{x}-\frac{1}{2} = | ||
+ | \\ = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-(\cos^{2}{x}-2\cdot\cos{x}\cdot\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2) = | ||
+ | \\ = \frac{3}{4}-(\cos{x}-\frac{1}{2})^{2} | ||
+ | $ | ||
+ | , то: | ||
- $f(x)\leq \frac{3}{4}$ при всех x; | - $f(x)\leq \frac{3}{4}$ при всех x; | ||
- | - $f(x)\geq \frac{3}{4}-(\frac{3}{2})^{2}=-\frac{3}{2}$ при всех x(ибо $|\cos{x}\leq 1|$); | + | - $f(x)\geq \frac{3}{4}-(\frac{3}{2})^{2}=-\frac{3}{2}$ при всех x(ибо $|\cos{x}|\leq 1$); |
- $f(\frac{\pi}{3})= \frac{3}{4}-(\cos{\frac{\pi}{3}}-\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{4}$; | - $f(\frac{\pi}{3})= \frac{3}{4}-(\cos{\frac{\pi}{3}}-\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{4}$; | ||
- $f(\pi)= \frac{3}{4}-(\cos{\pi}-\frac{1}{2})^{2}=-\frac{3}{2}$; | - $f(\pi)= \frac{3}{4}-(\cos{\pi}-\frac{1}{2})^{2}=-\frac{3}{2}$; | ||
Ответ: $\frac{3}{4}$ и $-\frac{3}{2}$ | Ответ: $\frac{3}{4}$ и $-\frac{3}{2}$ | ||
- | Есл решать эту задачу с помошью производных, то потребуется преодолевать препятствия, связанные с тем, что функция f(x) определена не на отрезке, а на всей числовой прямой. | + | Если решать эту задачу с помощью производных, то потребуется преодолевать препятствия, связанные с тем, что функция f(x) определена не на отрезке, а на всей числовой прямой. |
++++ | ++++ | ||
Строка 102: | Строка 107: | ||
++++ | ++++ | ||
- | ++++ $y=\cos{7x}+6\cos{x}$ | | + | ++++ $y=\cos{7x}+5\cos{x}$ | |
Из неравенств | Из неравенств | ||
$$ \\ | $$ \\ | ||
Строка 134: | Строка 139: | ||
\\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 | \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 | ||
$$ | $$ | ||
- | Ответ: E(f) = (–∞; 5]. | + | Ответ: E(f) = (–∞; -5]. |
++++ | ++++ | ||
Строка 146: | Строка 151: | ||
$$ | $$ | ||
Ответ: E(f) = [2; 6]. | Ответ: E(f) = [2; 6]. | ||
+ | ++++ | ||
+ | |||
+ | ++++ $f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}$ | | ||
+ | Найдём f<sup>2</sup>(x): | ||
+ | $$\\ f^{2}(x)=4+2\sqrt{4-x^{2}}$$ | ||
+ | Проведя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получим, что E(f<sup>2</sup>) = [4; 8]. | ||
+ | |||
+ | Тогда $E(f) = [2;2\sqrt{2}]$ (здесь учтено, что f > 0). | ||
+ | |||
+ | Ответ: $E(f) = [2;2\sqrt{2}]$ | ||
++++ | ++++ | ||
Строка 164: | Строка 179: | ||
-1\leq \cos{(x + \frac{\pi}{4})}\leq 1; | -1\leq \cos{(x + \frac{\pi}{4})}\leq 1; | ||
\\ | \\ | ||
- | -\sqrt{2}\leq cos{(x +\frac{\pi}{4})}\leq\sqrt{2}; | + | -\sqrt{2}\leq \sqrt{2}\cos{(x +\frac{\pi}{4})}\leq\sqrt{2}; |
$$ | $$ | ||
Строка 189: | Строка 204: | ||
==== Иные ==== | ==== Иные ==== | ||
- | ++++ $y=\log{0,5}{(4-2\cdot 3^{x}-9^{x})}$ | | + | ++++ $y=\log_{0,5}{(4-2\cdot 3^{x}-9^{x})}$ | |
Решим этот пример методом последовательного нахождения значений сложных аргументов функции. Выделив полный квадрат под логарифмом, преобразуем функцию | Решим этот пример методом последовательного нахождения значений сложных аргументов функции. Выделив полный квадрат под логарифмом, преобразуем функцию | ||
$$\\ | $$\\ | ||
- | y = \log{0,5}{(5 – (1 + 2·3^{x} – 3^{2x}))} = | + | y = \log_{0,5}{(5 – (1 + 2·3^{x} – 3^{2x}))} = |
\\ | \\ | ||
- | = \log{0,5}{(5 – (3^{x} + 1)^{2})} | + | = \log_{0,5}{(5 – (3^{x} + 1)^{2})} |
$$ | $$ | ||
Строка 206: | Строка 221: | ||
$$ | $$ | ||
- | Обозначим $t = 5 – (3^{x}+1)^{2}$, где -∞≤t≤4. Тем самым задача сводится к нахождению множества значений функции $y = \log{0,5}{t}$ на луче (-∞;4). Так как функция $y = \log{0,5}{t} определена лишь при, то её множество значений на луче (-∞;4) совпадает со множеством значений функции на интервале (0;4), представляющем собой пересечение луча (-∞;4) с областью определения (0;+∞) логарифмической функции. На интервале (0;4) эта функция непрерывна и убывает. При t > 0 она стремится к +∞, а при t = 4 принимает значение -2, поэтому E(y) = (-2, +∞). | + | Обозначим $t = 5 – (3^{x}+1)^{2}$, где -∞≤t≤4. Тем самым задача сводится к нахождению множества значений функции $y = \log_{0,5}{t}$ на луче (-∞;4). Так как функция $y = \log_{0,5}{t}$ определена лишь при t > 0 , то её множество значений на луче (-∞;4) совпадает со множеством значений функции на интервале (0;4), представляющем собой пересечение луча (-∞;4) с областью определения (0;+∞) логарифмической функции. На интервале (0;4) эта функция непрерывна и убывает. При t > 0 она стремится к +∞, а при t = 4 принимает значение -2, поэтому E(y) = (-2, +∞). |
- | ++++ | + | |
- | + | ||
- | ++++ $f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}$ | | + | |
- | Найдём f<sup>2</sup>(x): | + | |
- | $$\\ f^{2}(x)=4+2\sqrt{4-x^{2}}$$ | + | |
- | Проведя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получим, что E(f<sup>2</sup>) = [4; 8]. | + | |
- | + | ||
- | Тогда $E(f) = [2;2\sqrt{2}]$ (здесь учтено, что f > 0). | + | |
- | + | ||
- | Ответ: $E(f) = [2;2\sqrt{2}]$ | + | |
++++ | ++++ | ||