Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+====== Теоремы об эквивалентности пар ======
+**''Теорема 1. ( Об  эквивалентности  пар  на  плоскости ).''  Две  пары,
+лежащие в одной плоскости и имеющие равные по величине и по  знаку  моменты,
+эквивалентны.**
+Для доказательства рассмотрим две пары $(\vec{P}, \vec{P'})\text{ и }(\vec{F}, \vec{F'})$, лежащие  в одной плоскости и имеющие равные по величине и по знаку моменты (**Рис.1**).
+<box 520px>{{:subjects:termeh:statics:termeh_statics_3345f8b4.jpg?500|две пары векторов, лежащие  в одной плоскости и имеющие равные по величине и по знаку моменты}}</box|Рис.1>
+Продолжим линии действия сил пар до их пересечения в точках С и С'.
+На основании  следствия  из **аксиомы 3**  действие  сил $\vec{P}\text{ и }\vec{P'}$ не изменится, если эти силы перенести в эти точки, то есть $(\vec{P}, \vec{P'}) \sim (\vec{P_1}, \vec{P_1'})$.
+Воспользовавшись **аксиомой 4**, заменим силу $\vec{P_1}$ составляющими $\vec{S}\text{ и }\vec{T}$,
+направленными, соответственно, вдоль линии действия  силы $\vec{F}$,  и  по  прямой
+//СС'//. Аналогично поступим с силой $\vec{Р1'}$, заменив ее составляющими  $\vec{S'}\text{ и }\vec{T'}$.
+По построению $\vec{T} = - \vec{T'}$, поэтому согласно **аксиоме 2**: $(\vec{T}, \vec{T'}) \sim  0$  и  в соответствии с аксиомой 3 эту систему можно исключить.
+Таким образом,
+$$(\vec{P}, \vec{P'}) \sim (\vec{P_1}, \vec{P_1'}) \sim ((\vec{S}, \vec{T}),(\vec{S'}, \vec{T'})) \sim ((\vec{S}, \vec{S'}),(\vec{T}, \vec{T'})) \sim (\vec{S}, \vec{S'})$$,
+, то есть пары сил $(\vec{P}, \vec{P'})\text{ и }(\vec{S}, \vec{S'})$ эквивалентны.
+Остается доказать эквивалентность пар $(\vec{S}, \vec{S'})\text{ и }(\vec{F}, \vec{F'}).  Поскольку эти пары имеют равные плечи, они будут эквивалентны,  если  будут  равны  их моменты.
+По условию теоремы моменты пар $(\vec{P}, \vec{P'})\text{ и }(\vec{F},  \vec{F'})$  равны.  Таким образом:
+$$M(\vec{F}, \vec{F'}) = M(\vec{P}, \vec{P'}) = M(\vec{P_1}, \vec{P_1'}) = M_C(\vec{P_1})$$
+В силу теоремы Вариньона:
+$$M_C(\vec{P_1}) = M_C(\vec{S}) + M_C(\vec{T}) = M_C(\vec{S})$$
+, поскольку линия действия силы $\vec{T}$ проходит через точку С  и  ее  момент  равен нулю. Итак:
+$$M(\vec{F}, \vec{F'}) = M_C(\vec{S}) = M(\vec{S}, \vec{S'})$$
+, а значит пары $(\vec{S}, \vec{S'})\text{ и }(\vec{F}, \vec{F'})$ будут эквивалентны.
+Таким образом: $(\vec{P}, \vec{P'}) \sim (\vec{S}, \vec{S'}) \sim (\vec{F}, \vec{F'}), и ''теорема доказана''.
+Рассмотрим следствия этой теоремы, которые также  можно  рассматривать как свойства пар сил в дополнение к свойствам, рассмотренным в «[[Пара сил и ее свойства]]».
+**''Следствия:''**
+  - **Действие пары сил на ТТ не меняется  при  ее  перемещении  в  своей плоскости.**
+  - **Действие пары сил на ТТ не изменится,  если  одновременно  изменить плечо и силы пары, сохранив неизменным ее момент.**
+Рассмотрим  в  частности   пару,   представленную   силами  $\pm P=\frac{M}{2\varepsilon}$ ,
+приложенными к балке в точках $x=x_M\pm\varepsilon$ (**Рис.2а**). Плечо  такой  пары,  равно
+$2\varepsilon$ , а ее момент равен M. При изменении ( будут меняться плечо и  силы  пары,
+но величина ее момента останется равной первоначальному значению.
+**''Определение 1.''  Моментом  называется  система,  полученная  из  пары сил $\pm P=\frac{M}{2\varepsilon}$ , при $\varepsilon\to 0$.**
+Таким образом, термин «момент» имеет в ТМ два значения:
+  - момент  как произведение силы на ее плечо и
+  - момент как система,  полученная  из  пары сил в соответствии с **определением 1**.
+Отметим, что при таком предельном  переходе  плечо  пары  стремится  к
+нулю,  а  силы  пары  –  к  бесконечности.  Полученный  в   соответствии   с
+**определением  1**  момент  фактически  является  таким  же   самостоятельным
+объектом в механике, как и сила, и в  дальнейшем  мы  будем  обозначать  его
+так, как показано на **рис.2б**.
+<box 520px>{{:subjects:termeh:statics:termeh_statics_61cc5d58.jpg?500|момент фактически является таким же самостоятельным объектом в механике, как и сила}}</box|Рис.2>
+Если для абсолютно твердого тела последний  момент  эквивалентен  паре
+сил, показанной на **рис.2а** , то в ''механике  деформируемого  тела''  действие
+такого ''сосредоточенного момента'', приложенного в точке ''х=х<sub>М</sub>'' , существенно
+отличается от действия пары сил.
+**''Теорема 2. ( Об эквивалентности пар  в  пространстве ).'' Две  пары,
+лежащие в параллельных плоскостях и имеющие равные по величине  и  по  знаку
+моменты, эквивалентны.**
+Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующая:
+**''Лемма.'' Равнодействующая двух  параллельных  и  равных  по  модулю  сил
+равна их сумме, а ее линия действия  проходит  посредине  между  точками  их
+приложения** (**''Рис.3''**).
+<box 520px>{{:subjects:termeh:statics:termeh_statics_4f919dff.jpg?500|Равнодействующая двух  параллельных  и  равных  по  модулю  сил равна их сумме, а ее линия действия  проходит  посредине  между  точками  их приложения}}</box|Рис.3>
+Для доказательства леммы достаточно  к  системе  двух  сил  $(\vec{P_1},  \vec{P_2})$ ,
+приложенных соответственно в точках A и B, о которых идет  речь  в  теореме,
+добавить  уравновешенную  систему  сил $(\vec{T_1},\vec{T_2})$ , а  затем   воспользоваться
+аксиомой параллелограмма:
+$$(\vec{P_1}, \vec{P_2}) \sim ((\vec{P_1}, \vec{P_2}), (\vec{T_1}, \vec{T_2})) \sim ((\vec{P_1}, \vec{T_1}), (\vec{P_2}, \vec{T_2})) \sim (\vec{R_1}, \vec{R_2}) \sim (\vec{R_{12}})$$
+, где $\vec{P_1} = \vec{P_2} = \vec{P},\,\,  \vec{R_{12}} = 2\cdot P$ , а AС = BC  .
+Переходя к доказательству теоремы, рассмотрим две пары сил $(\vec{P_1}, \vec{P_2})\text{ и }(\vec{F_1}, \vec{F_2})$, имеющие равные моменты и лежащие в параллельных  плоскостях  П<sub>1</sub>  и П<sub>2</sub> соответственно (**Рис.4**).
+<box 420px>{{:subjects:termeh:statics:termeh_statics_54877511.jpg?400|две пары сил, имеющие равные моменты и лежащие в параллельных плоскостях}}</box|Рис.4>
+Построим в плоскости П<sub>2</sub> отрезок  CD,  равный  и  параллельный  отрезку
+АВ и приложим в точках C и D две системы уравновешенных сил: $(\vec{S_1}, \vec{S_2}) \sim 0\text{  и }(\vec{T_1}, \vec{T_2}) \sim 0$
+, выбрав силы $\vec{S}$ и $\vec{T}$ равными по модулю и параллельными силам $\vec{P}$.
+На основании **аксиом 2, 3** и последней **леммы**:
+$$ (\vec{P_1}, \vec{P_2}) \sim ((\vec{P_1}, \vec{P_2}), (\vec{S_1}, \vec{S_2}), (\vec{T_1}, \vec{T_2})) \sim ((\vec{P_1}, \vec{T_1}), (\vec{P_2}, \vec{S_2}), (\vec{S_1}, \vec{T_2})) \sim
+\\ \sim ((\vec{R_1}, \vec{R_2}), (\vec{S_1}, \vec{T_2})) \sim (\vec{S_1}, T_2)
+$$
+, поскольку $\vec{R_1} \sim (\vec{P_1}, \vec{T_1})$ и  $\vec{R_2} \sim (\vec{P_2}, \vec{S_2})$  также  образуют  уравновешенную систему сил, которую можно исключить.
+Таким образом, мы получили две пары сил: $(\vec{S_1}, \vec{T_2})$ и $(\vec{F_1}, \vec{F_2})$ ,  которые
+лежат в одной плоскости и имеют равные по величине и  по  знаку  моменты.  В
+силу **предыдущей теоремы 1** они будут эквивалентны, откуда следует, что
+$$(\vec{P_1}, \vec{P_2}) \sim (\vec{S_1}, \vec{T_2}) \sim (\vec{F_1}, F_2)$$
+''Теорема доказана.''
+**''Следствие.'' Действие пары сил на ТТ не изменится при ее  перемещении  в
+параллельную плоскость, расположенную в пределах этого тела.**
+===== Примечание: =====
+  * //В силу этого следствия вектор-момент пары сил  в  пределах этого тела можно считать ''свободным''.//

wiki.eduVdom.com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Различия

Инструменты страницы

Записаться на занятия