Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:termeh:statics:момент_силы_относительно_центра

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:termeh:statics:момент_силы_относительно_центра [2013/04/05 18:47]
subjects:termeh:statics:момент_силы_относительно_центра [2013/07/19 19:53] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +====== Момент силы относительно центра ======
 +Рассмотрим тело, которое закреплено в центре О и может ​ поворачиваться
 +вокруг ​ оси, ​ проходящей ​ через ​ точку ​ О  и  перпендикулярной ​ к  плоскости
 +чертежа. Приложим в точке А этого тела силу P и  выясним, ​ чем ​ определяется
 +вращательное действие этой силы (**Рис.1**).
  
 +<box 620px>​{{:​subjects:​termeh:​statics:​termeh_statics_1cf5a010.jpg?​600|Момент силы относительно центра}}</​box|Рис.1>​
 +
 +Очевидно,​ что воздействие силы на тело будет зависеть не только от  ее
 +величины,​ но и от того, ​ как ​ она ​ направлена, ​ и  в  конечном ​ итоге ​ будет
 +определяться ее //​моментом относительно центра О//.
 +
 +**''​Определение 1.''​ Моментом силы ​ Р  относительно ​ центра ​ О  называется
 +взятое со знаком $\pm$ произведение модуля силы на ее плечо -- то есть ​ длину
 +перпендикуляра,​ опущенного из моментной точки на линию действия силы.**
 +
 +**''​Правило ​ знаков:'' ​ момент ​ силы ​ считается ​ ''​положительным'', ​ если ​ сила
 +стремится повернуть тело ''​против хода часовой стрелки''​ и  отрицательным, ​ если
 +она вращает тело по ходу часовой стрелки.**
 +
 +В соответствии ​ с  данным ​ определением ​ момент ​ силы ​ численно ​ равен
 +удвоенной площади ​ треугольника ​ OAB,  построенного ​ на  векторе ​ силы ​ P  с
 +вершиной в моментной точке: $M_0(P) = P\cdot d = 2S\Delta_{OAB}$ .
 +
 +Отметим,​ что **момент силы относительно точки О равен нулю, ​ если ​ линия
 +действия силы проходит через моментную точку**.
 +
 +Рассмотренное определение момента силы ​ подходит ​ только ​ для ​ плоской
 +системы ​ сил. ​ В  общем ​ случае ​ для ​ однозначного ​ описания ​  ​вращательного
 +действия силы введем следующее определение.
 +
 +**''​Определение ​ 2.'' ​ Вектор-моментом ​ силы ​ Р  относительно ​ центра ​  О
 +называется вектор,​ который:​**
 +  * **приложен ​ в  моментной ​ точке ​ О   ​перпендикулярно ​  ​к ​  ​плоскости треугольника,​ построенного на векторе силы с вершиной в моментной точке**;​
 +  * **направлен по правилу право винта**;​
 +  * **равен по модулю моменту силы Р относительно центра О** (**''​Рис.1а''​**).
 +
 +**''​Правило правого винта''​**,​ известное также из  курса ​ физики ​ как ​ **''​правило
 +буравчика''​**,​ означает,​ что **если смотреть навстречу ​ вектор-моменту ​ $\vec{М_0}(\vec{P})$ ,  мы
 +увидим вращение силой $\vec{P}$ плоскости своего действия,​ происходящим ''​против ​ хода
 +часовой стрелки''​**.
 +
 +Обозначим через $\vec{r}$ радиус-вектор точки приложения ​ силы $\vec{P}$ и  докажем,​ что справедлива следующая
 +
 +**''​Теорема 1.'' ​ Вектор-момент ​ силы ​ $\vec{P}$ ​ относительно ​ центра ​ //​О// ​ равен
 +векторному произведению радиус-вектора $\vec{r}$ и вектора силы $\vec{P}$ :**
 +
 +$$\vec{M_0}(\vec{P}) = ( \vec{r} \times \vec{P})$$
 +
 +Напомним,​ что векторным произведением векторов ​ $\vec{a}\text{ и }\vec{b}$ называется вектор $\vec{c}$ , который (**Рис.2б**):​
 +
 +<box 620px>​{{:​subjects:​termeh:​statics:​termeh_statics_69e4e346.jpg?​600|векторное произведением векторов}}</​box|Рис.2>​
 +
 +  * перпендикулярен к векторам $\vec{a}\text{ и }\vec{b}$ ;
 +  * образует с ними ''​правую тройку ​ векторов'', ​ то  есть, ​ направлен ​ так, что, смотря навстречу этому вектору,​ мы увидим поворот от вектора $\vec{a}$ к  вектору $\vec{b}$ на наименьший угол происходящим против хода часовой стрелки;​
 +  * равен по модулю ​ удвоенной ​ площади ​ треугольника, ​ построенного ​ на этих векторах:​
 +
 +$$|\vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin(\vec{a},​\,​\vec{b})$$
 +
 +Для доказательства теоремы ​ отметим, ​ ''​во-первых'', ​ что ​ вектор, ​ равный векторному произведению векторов $\vec{r}\text{ и }\vec{P}$ ​ будет ​ коллинеарным ​ вектору ​ $\vec{M_0}(\vec{P})$.
 +
 +Чтобы убедиться в этом, достаточно ​ отложить ​ эти ​ векторы ​ от  одной ​ точки (**Рис.1в**). Итак, $(\vec{r} \times \vec{P}) \uparrow \uparrow \vec{M_0}(\vec{P})$.
 +
 +''​Во-вторых'',​ модуль векторного произведения этих векторов будет равен:
 +
 +$$|\vec{r} \times \vec{P}| = |\vec{r}|\cdot|\vec{P}|\cdot\sin(\vec{r},​\,​\vec{P}) = P \cdot d =|\vec{M_0}(\vec{P})|$$
 +
 +, откуда и следует соотношение ​ теоремы.
 +
 +Следствием этой теоремы является:​
 +
 +**''​Теорема Вариньона (о моменте равнодействующей сходящихся сил).''​ Вектор-
 +момент равнодействующей системы сходящихся ​ сил ​ относительно ​ произвольного
 +центра ​ О  равен ​ геометрической ​ сумме ​ вектор-моментов ​ всех ​ сил ​ системы
 +относительно этого центра:​**
 +
 +$$\vec{M_0}(\vec{R}) = \sum_{i=1}^{i=n}\vec{M_{0\,​\,​i}}(\vec{P_i})$$
 +
 +В самом деле, ''​момент равнодействующей'',​ с учетом **теоремы 1** и [[Аналитич определение равнодействующей|аналитического определения равнодействующей сходящихся сил]], ''​будет равен:''​
 +      ​
 +$$ \vec{M_0}(\vec{R})= \vec{R}\times\vec{r}
 + ​\,​\,​\,​\;​\;​\text{ , т.к. } \vec{M_0}(\vec{P}) = ( \vec{r} \times \vec{P})
 +\\ \vec{R}\times\vec{r}= \vec{r}\times\sum_{i=1}^{i=n}\vec{P_i}
 + ​\,​\,​\,​\;​\;​\text{ , т.к. } (\vec{P_1}, \vec{P_2}, \dots, \vec{P_n}) \sim \vec{R} = \sum_{i=1}^{i=n} \vec{P_i}
 +\\ \vec{r}\times\sum_{i=1}^{i=n}\vec{P_i} = \sum_{i=1}^{i=n}(\vec{r}\times\vec{P_i}) = \sum_{i=1}^{i=n}\vec{M_{0\,​\,​i}}(\vec{P_i})
 +$$
 +
 +Для плоской ​ системы ​ сходящихся ​ сил ​ геометрическая ​ сумма ​ в  **теореме Вариньона** переходит в алгебраическую:​
 +
 +$$M_0(R)=\sum_{i=1}^{i=n}M_{0\,​\,​i}(\vec{P_i})$$
 +
 +===== Примечание =====
 +  * //В  учебной ​ литературе ​ термин ​ «момент» ​ применяют ​ для обозначения как момента силы, так и ее вектор-момента.//​
subjects/termeh/statics/момент_силы_относительно_центра.txt · Последние изменения: 2013/07/19 19:53 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты