Подобие произвольных фигур

Понятие подобия можно ввести не только для треугольников, но и для произвольных фигур. Фигуры F и F₁ называются подобными, если каждой точке фигуры F можно сопоставить точку фигуры F₁ так, что для любых двух точек М и N фигуры F и сопоставленных им точек М₁ и N₁ фигуры F₁ выполняется условие $\frac{M_1N_1}{MN} = k$ , где k — одно и то же положительное число для всех точек. При этом предполагается, что каждая точка фигуры F₁ оказывается сопоставленной какой-то точке фигуры F. Число k называется коэффициентом подобия фигур F и F₁.

На рисунке 1 представлен способ построения фигуры F₁ , подобной данной фигуре F. Каждой точке М фигуры F сопоставляется точка М₁ плоскости так, что точки М и М₁ лежат на луче с началом в некоторой фиксированной точке О, причем ОМ₁ = k*OM (на рис.1 k = 3). В результате такого сопоставления получается фигура F₁, подобная фигуре F.

Этот способ построения фигуры F₁, подобной фигуре F, называется центрально-подобным преобразованием фигуры F в фигуру F₁ или гомотетией, а фигуры F и F₁ — центрально-подобными или гомотетичными.

Можно доказать, что для треугольников общее определение подобия равносильно определению, данному в п.1.

Примерами подобных четырехугольников являются любые два квадрата (рис. 2, а), а также два прямоугольника, у которых две смежные стороны одного пропорциональны двум смежным сторонам другого (рис. 2, б).

Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной.

Гомотетия и рассмотренные ранее центральная симметрия и осевая симметрия — примеры преобразований фигур.

Рассмотрим еще один пример преобразования фигуры — параллельный перенос.

Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка Х(х; у) переходит в точку Х'(х + а; у + b), а и b постоянные, называется параллельным переносом (рис.3).

Параллельный перенос задается формулами $$ x' = x + a \\ y' = y + b $$ Эти формулы выражают координаты х', у' точки, в которую переходит точка (х; у) при параллельном переносе.

Название «параллельный перенос» оправдывается тем, что при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

Заметим также, что при параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).

---

---

Пример 1. При параллельном переносе точка (1; 1) переходит в точку (-1; 0). В какую точку переходит начало координат?

Решение. Любой параллельный перенос задается формулами х' = х + а; у' = у + b. Так как точка (1; 1) переходит в точку (-1; 0), то -1 = 1 + а; 0 = 1 + b. Отсюда а = -2 ; b = -1.

Таким образом, параллельный перенос, переводящий точку (1; 1) в (-1; 0), задается формулами х' = х - 2 ; у' = у - 1.

Подставляя в эти формулы координаты начала (х = 0; у = 0), получим: х' = -2; у' = -1.

Итак, начало координат переходит в точку (-2; -1).

---

---