Понятие вектора

Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т. е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая — за конец. Если А — начало вектора и В — его конец, то вектор обозначается символом $\overrightarrow{АВ}$ (или $\overline{АВ}$). Обычно векторы обозначают одной малой латинской буквой со стрелкой (или с чертой) либо выделяют жирным шрифтом: $\overrightarrow{a}\,,\,\ \overline{a}\,,\,\ {\bf а}$ . Вектор изображается отрезком со стрелкой на конце (рис.1).

Длина вектора $\overrightarrow{АВ}$ называется его абсолютной величиной или модулем и обозначается символом $|\overrightarrow{АВ}|$.

Вектор $\overrightarrow{a}$, у которого $|\overrightarrow{a}| = 1$ , называется единичным.

Вектор называется нулевым (обозначается $\overrightarrow{0}$ или ${\bf 0}$), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.

Векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Два вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. В этом случае пишут $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}$ . Все нулевые векторы считаются равными.

Из определения равенства векторов непосредственно следует, что, каковы бы ни были вектор $\overrightarrow{a}$ и точка Р, существует, и притом единственный, вектор $\overrightarrow{PQ}$ с началом в точке Р, равный вектору $\overrightarrow{a}$ . В самом деле, существует лишь одна прямая, проходящая через точку Р и параллельная той прямой, на которой лежит вектор $\overrightarrow{a}$ . На указанной прямой существует единственная точка Q такая, что отрезок PQ имеет длину, равную длине вектора $\overrightarrow{a}$ , и направлен в ту же сторону, что и вектор $\overrightarrow{a}$ . Таким образом, вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку плоскости.

---

---

Пример 1. Рассмотрим квадрат ABCD (рис. 120).

На основании определения равенства векторов можно записать $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{ВС} \,и\, \overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{DC} \,,но\, \overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{AD}\,,\, \overrightarrow{ВС} \neq \overrightarrow{DC}\,,\, хотя \overrightarrow{|АВ|} = \overrightarrow{|AD|} = \overrightarrow{|ВС|} = \overrightarrow{|DC|} $ .

---

Пример 2. Какой вид имеет четырехугольник ABCDy если известно, что $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{ВС}$ ?

Решение. Из равенства $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{ВС}$ следует, что стороны AD и ВС в четырехугольнике равны и параллельны и, значит (теорема 2), он параллелограмм.

Два коллинеарных вектора (отличные от нулевых векторов), имеющие равные модули, но противоположно направленные, называются противоположными.

Вектор, противоположный вектору $\overrightarrow{a}$, обозначается $-\overrightarrow{a}$. Для вектора $\overrightarrow{AB}$ противоположным является вектор $\overrightarrow{BA}$ .

---

---