Пропорциональные отрезки

Отношением отрезков АВ и CD называется отношение их длин, т.е. $\frac{AB}{CD}$ . Говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и C₁D₁ если $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1} $$ Например, отрезки АВ и CD, длины которых равны 2 см и 1 см, пропорциональны отрезкам А₁В₁ и C₁D₁ , длины которых равны 3 см и 1,5 см. В самом деле, $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1} = \frac{2}{3} $$ Понятие пропорциональности вводится и для большего числа отрезков. Так, например, три отрезка АВ, CD и EF пропорциональны трем отрезкам А₁В₁ , C₁D₁ и E₁F₁ если $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1} = \frac{EF}{E_1F_1} $$

Теорема 1. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Доказательство. Пусть стороны угла А пересекаются параллельными прямыми в точках В, С и В₁, С₁ соответственно (рис.1).

Теоремой утверждается, что $$ \frac{AC_1}{AC} = \frac{AB_1}{AB} \ \ \ (1)$$ Пусть существует такой отрезок длины ε, который укладывается целое число раз и на отрезке АС, и на отрезке АС₁.
Пусть $$ АС = n\varepsilon \ , \ АС_1 = m\varepsilon \ (n > m) . \ \ \ (2)$$

Разобьем отрезок АС на п равных частей (длины ε). При этом точка С₁ будет одной из точек деления. Проведем через точки деления прямые, параллельные прямой ВС. По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок АВ на равные отрезки некоторой длины ε₁. Имеем: $$ AB = n\varepsilon _1 \ , \ AB_1 = n\varepsilon _1 $$ Отсюда и из (2) $$ \frac{AB_1}{AB} = \frac{m}{n} \ и \ \frac{AC_1}{AC} = \frac{m}{n} $$ Значит, $$ \frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC} $$ Однако не для любых отрезков АС и АС существует такой отрезок ε, который в каждом из отрезков АС и АС₁ укладывается целое число раз без остатка. Но и в этом случае можно доказать, что равенство (1) выполняется. Теорема доказана.

---

---

Пример 1. Даны отрезки a, b, c. Построить отрезок $$ x = \frac{bc}{a} $$

Решение. Строим любой неразвернутый угол с вершиной О (рис.2).

Откладываем на одной стороне угла отрезки ОА = а и ОВ = b , а на другой стороне отрезок ОС = с. Соединяем точки А и С прямой и проводим параллельную ей прямую BD через точку В. Отрезок OD = х.

Действительно, по теореме о пропорциональных отрезках $$ \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} \ , \ \ откуда \ \ OD = \frac{OB*OC}{OA} = \frac{bc}{a} $$

Примечание. Построенный отрезок х называется четвертым пропорциональным. Такое название связано с тем, что он является четвертым членом пропорции а : b = с : х.

---

---